11.1 变量与函数
11.1.1 变量 11.1.2 函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.我国是一个严重缺水的国家，我们应该加倍珍惜水资源，节约用水.据测算，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约为0.05毫升.小明同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小明离开x分钟后，水龙头滴了y毫升水，则y关于x的关系式是_________.
思路解析：此题要注意单位的统一，y=60×2×0.05x＝6x.
答案：y=6x
2.小刚拿5元钱去买单价为0.5元的练习本，设小刚买了x本练习本，还剩下y元，则y与x的关系式是_________.
答案：y=5－0.5x
3.已知y=5x－6，当x=0时，y=________；当x=_________时，y=0.
思路解析：直接代入另一未知数的值.
答案：－6
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在下列有序实数对中，不是函数y=－2x+1中自变量x与函数y的对应值的是( )
A.(0，1) B.(1，－1) C.(1，0) D.(－1，3)
思路解析：把x=0，1，－1分别代入函数表达式，求出ｙ的对应值中，只有(1，0)是x与y的对应值.
答案：C
2.一容器内有水24升，若每分钟放水3升，那么容器内剩余水量y(升)与放水时间x(分)之间的关系式为( )
A.y=3x－24(0≤x≤8) B.y=24－3x(0<x<8)
C.y=－24＋3x(0<x<8) D.y=24－3x(0≤x≤8)
答案：D
3.下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？
(1)矩形的面积一定，它的长与宽；
(3)矩形的周长与面积；
(4)某人的年龄与身高.
思路解析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应． 解：(1)矩形的面积确定时，它的宽取一个值x，就有唯一确定的长y值与宽对应，因此这是一个函数关系．
(2)三角形的大小不确定，当底取一个值时，它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系．
(3)当矩形的周长是一个确定的值时，由于长、宽不能确定，它的面积也不确定，这也不是函数关系．
(4)人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系．
4.指出下列表达式是否为函数？若是函数，指出自变量、函数和常量；若不是函数，请说明理由.
(1)y=－2x；(2)y=3x－；(3)y=3x2－7x+2；(4)|y|=x．
思路解析：与第3题相同，判断是否为函数的标准应把握三点.本题所给的前三个都符合函数定义，可根据定义说出自变量、函数和常量．第四个中x每取一个正值，y都有两个值与它对应，它就不是函数.
解：(1)y=－2x是函数，其中自变量是x，y是x的函数，常量是－2.
(2)y=3x－是函数，其中自变量是x，y是x的函数，常量是3和－.
(3)y=3x2－7x+2是函数，其中自变量是x，y是x的函数，常量是3、－7和2.
(4)|y|=x不是函数.
因为x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以|y|=x不是函数关系．
5.写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值：
(1)y=；(2)y=；(3)y=x+．
思路解析：在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.求函数值只需把x=2分别代入各函数解析式中计算即可.
解：(1)由分母3x+5≠0，得x≠－，即自变量x的取值范围是x≠－.当x=2时，y=.
(2)t为任意实数．当t=2时，y=.
(3)由被开方数x－1≥0，得x≥1，即自变量x的取值范围是x≥1.当x=2时，y=3．
6.图11-1-1中的每个图都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花，每个图案的花盆的总数是S.
图11-1-1
图11-1-1按此规律推断S与n的关系式为________.
思路解析：先观察前三个图中S与n的关系，可知是3的倍数，且n=2时，S是3的1倍，n=3时，S是3的2倍，n=4时，S是3的3倍，所以可以猜想得到S=3（n-1）.另外还可以理解成每边n盆，共3边，再减去由于每个顶点算了二次而多算的3盆，这样总数也是3（n－1）.
答案：S=3n－3
快乐时光
一位旅游者在车站招手请司机停车，并问售票员：“从这里到大观园多少钱？”售票员回答：“五元.”旅游者没上车，因为他手里只有四元钱，所以他跟着车跑起来，当他在下一站追上汽车时，气喘吁吁地问：“这回到大观园多少钱？”售票员回答：“六元，你跑错方向了.”
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.变量x和y的四个关系式：y=|x|,|y|=x, y2=2x, y=2x2，其中y是x的函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
球头销
思路解析：确定函数的标准为：如果给出了一个x值，相应的就唯一确定了一个y值.式子|y|=x,y2=2x中，对于正数x的一个值，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义.
答案：B
2.根据图11-1-2中所示的程序计算函数值，若输入的x为2，则输出的y值为( )
A.4 B.2
C.0 D.－2
思路解析：x取不同的值，计算式不同.由于2在1＜x≤3中，所以y=－x+2=-2+2=0.
答案：C
3.在一个变化过程中，如果两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有________
的值与其对应，那么我们就说x是________，y是________的函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当________为a时的________.
答案：唯一 自变量 自变量x 自变量的值 函数值
4.公民的月收入超过1 200元时，超过的部分需依法缴纳个人收入所得税，当超过部分在500元以内(包括500元)时税率为5%，则公民每月纳税款y(元)与月收入x(元)之间的关系式是________，自变量x的取值范围是________.
思路解析：计算时要注意1 200元不计入纳税范围.
答案：y=5%×(x－1 200) 1 200<x≤1 700
5.根据下列各题题意写出函数关系式，并指出其中的常量及自变量的取值范围：
（1）圆的面积A与半径R的函数关系式;
（2）多边形内角和度数α与边数n的函数关系式;
（3）现存煤Q吨，用煤天数Y与日耗煤量X吨的函数关系式;
（4）甲、乙两地相距50千米，自行车以每小时10千米从甲地驶往乙地，自行车离乙地的距离s千米与行驶时间t小时的函数关系式.
题号 | 函数解析式 | 常量 | 自变量取值范围 |
(1) | | | |
(2) | | | |
(3) | | | |
(4) | | | |
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城市通讯
答案:
题号 | 函数解析式 | 常量 | 自变量取值范围 |
(1) | A=πr2 | π | R＞0 |
(2) | A=180n-360 | 180,-360 | N≥3且n为整数 |
(3) | Y= | Q | 0＜Y≤ |
(4) | S=50-10t | 50,-10 | 0≤t≤5 |
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6.有一棵树苗，刚栽下去时高为2.1米，以后每年长0.4米.设树苗栽种的时间为x树苗的高度为y米，如何用含x的式子表示y？在这个问题中，哪些是变量，哪些是常量？
解：关系式为y=2.1+0.4x,其中x、ｙ是变量，2.1、0.4是常量.
7.某水果批发市场规定批发苹果不少于100千克时，批发价为2.5元/千克，小张携带5 000元现金到这个市场采购苹果，并以批发价购进，如果购买的苹果为x千克，小张付款后的剩余现金为y元，试写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的水晶簇取值范围.
思路分析：此题最关键的是自变量取值范围的确定，由于不少于100千克才能批发，所以x≥100.又因为总共才5 000元，最多只能买到2 000千克，所以x≤2 000.
解：y与x之间的函数关系式为y=5 000－2.5x，其中自变量x的取值范围是100≤x≤2 000.
8.某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示：
数量x(千克) | 1 | 2 | 3 苯并芘检测 | 4 | 5 | … |
售价y元 | 8+0.4 | 16+0.8 | 24+1.2 | 32+1.6 | 40+2.0 | … |
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请根据表中所提供的信息，回答下面的问题：
(1)列出售价y与数量x的关系式；
(2)当x=2.5千克时的售价是多少元？
思路分析：观察表格，y随x的增大而增大，且这两个加数分别是8与0.4的倍数.
解：(1)售价y与数量x的关系式为y=8.4x.
(2)当x=2.5时,y=8.4×2.5＝21,即当x=2.5千克时的售价是21元.
9.用火柴棒按如图11-1-3的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒，照这样的规律搭下去，搭n（n＞1）个三角形需要S根火柴棒，那么S关于n的关系式是(n为正整数)什么？
图11-1-3
解：搭一个三角形需要3根火柴棒，以后每增加1个三角形，就多需要2根火柴棒.所以S关于n的关系式是S=3+2(n－1).
10.离山脚30米处向上铺台阶，每上4级台阶升高1米.
(1)求离山脚高度h与台阶数n之间的函数关系式；
(2)已知山脚至山顶高为217米，求自变量n的取值范围.
思路分析：这里n是台阶数，取值范围应为非负整数.
解：(1)依题意，有h=30+n(n是非负整数).
(2)当h=217米时，有217=30+n，解得n=748，所以n的取值范围是0≤n≤748的非负整数.
11.某纺织厂生产的产品原来每件出厂价为80元，成本为60元.由于在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5 m3的污水排出，现在为了保护环境，需要对污水净化处理后再排出.已知每处理1 m3污水费用为2元，且每月排污设备的损耗为8 000元.设现在该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当y=106 000时，求该厂在这个月中生产产品的件数.
思路分析：纯利润=产品总利润－排污费用－排污设备的损耗费.
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