海南省2022-2023学年高二下学期学业水平诊断（一）数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量()1,,2a t = ，()1,2,0b = ，若a b ⊥ ，则实数t =（
）
A ．1
B ．1
2
C ．12
-
D ．-1
2．已知在等比数列{}n a 中,13a =,26a =，则3a =（）
A ．3
B ．6
C ．9频率补偿
D ．123．若直线210x y +-=与220mx y -+=平行，则实数m 的值为（）A ．3 -B ．1
-C ．1
D ．2
4．我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司2022年投入研发费用4亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加2亿元，则该公司一年的研发费用首次达到20亿元是在()A ．2029年
B ．2030年
云朵制造机C ．2031年
D ．2032年
5．已知()1,1,1a =
为平面α的一个法向量，()1,0,0A 为α内的一点，则点()1,1,2D 到平
面α的距离为（）
A
B C D 6．已知椭圆()22
144x y m m +=>的焦距大于2，则其离心率的取值范围为（
）
A ．5⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,2⎛⎫
⎪
⎝⎭
C ．5⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
D ．1暖气炉
,
12
⎛⎫
⎪
⎝
⎭
熏香炉7．若直线l ：320kx y k -+-=与圆C ：226440x y x y +--+=交于A ，B 两点，且直线l 不过圆心C ，则当ABC 的周长最小时，实数k =（）
A ．1
-B ．1
2
C ．1
D ．2
8．已知1F ，2F 是双曲线E 的两个焦点，点P 为E 上一点，若122π
3
F PF ∠=，125PF PF =，则E 的离心率为（）
A ．
4B ．
2
C D ．
2
二、多选题
9．若直线l 经过点()4,2-，且l 与坐标轴围成的三角形面积为2，则l 的方程可能是（）
A ．20x y --=
B ．260x y +-=
C ．20
x y +-=D ．440
x y ++=10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，13n n a S +=，则（）
A ．24
S =B ．20232021
16a a =C ．数列{}n a 是等比数列
D ．数列{}n S 是等比数列
11．如图所示，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，点Р在底面上的射影为棱BC 的中点，且3PA =，则（
）
A ．PA BC
⊥B ．三棱锥-P ABC 的体积为2
C ．异面直线PB 与AC
D ．BC 与平面PAB 12．已知点P 在直线l ：4x y +=上运动，过点P 作圆O ：224x y +=的一条切线，切点为A ，直线PO 与圆O 交于点B ，且点P ，B 在O 的两侧，则（）
A ．PA 的最小值为2
B ．π6
ABP ∠≥
C ．当PAB 为等腰三角形时，AB =
D ．点O 到直线AB
三、填空题
13．若双曲线22
116x y m
-=的渐近线方程为12y x =±，则实数m =__________．
14．若方程22
2133x y k k
+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，
则实数k 的取值范围是__________．15．在数列{}n a 中，若134n
n n a a +=+，11a =，则其通项公式为n a =__________．
16．已知抛物线216x y =的焦点为F ，准线为l ，点Р是l 上一点，过点Р作PF 的垂线交x 轴的正半轴于点A ，AF 交抛物线于点B ，PB 与x 轴垂直，
则直线AF 的斜率为__________．四、解答题
17．已知等差数列{}n a 的公差3d =-，且2a ，1a ，3a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n a 的前k 项和33k S =-，求k 的值．
18．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点坐标为()1,0．
(1)求C 的方程；
(2)直线l ：0x y t --=与C 交于A ，B 两点，若21OA OB ⋅=
（O 为坐标原点）
水垢过滤器
，求实数t 的值．
电商监测
19．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知4n n a S +=．(1)证明：数列{}n a 为等比数列；(2)求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+．
20．如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，11AB AA ==，2AD =，BD =
11A C 与11B D 交于点O ．
(1)求证：BD ⊥平面11CC D D ；
(2)求平面11AA B B 与平面OBC 的夹角的余弦值．
21．已知圆C 过点()4,2M ,()1,3N --，且圆心C 在直线220x y ++=上.(1)求C 的方程.
(2)设直线l :20ax y -+=与圆C 交于不同的两点,A B ，是否存在实数a ，使得线段AB 的中垂线经过点()3,0P ?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
，且经过点()2,1．
(1)求C 的方程；
(2)过椭圆C 外一动点P 作椭圆C 的两条切线1l ，2l ，斜率分别为1k ，2k ，若121
4
k k ⋅=-恒
成立，证明：存在两个定点，使得点P 到这两定点的距离之和为定值．
答案第1页，共12页
参考答案：
1．C
【分析】因a b ⊥
，则0a b ⋅= ，据此可得答案.
【详解】因为a b ⊥ ，所以120a b t ⋅=+= ，所以1
2
t =-．
故选：C 2．D
【分析】根据已知条件求解出公比，再利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2
1
2a q a =
=，所以22
313212a a q ==⨯=.
故选：D.3．B
【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得m 的值.【详解】由210x y +-=可知，其斜率为1
2
-，
又两直线平行，所以可得1
22
m =-，解得1m =-.故选：B 4．B
【分析】依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为{}n a ，利用等差数列的通项公式可以得到该公司第n 年的研发费用n a ，令20n a ≥即可得到结果.【详解】依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为{}n a ，可得14a =，公差2d =,
则该公司第n 年的研发费用为()1122n a a n d n =+-=+，令2220n +≥，则9n ≥,
所以从2022年开始第9年，即2030年的费用首次达到20亿元.故选:B.5．A
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