教学课件
1．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝( ) A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 ∵a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，
∴b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．
∴a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.
2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
答案 A
解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.
3．(2018·上海杨浦区一模)若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ∵a与b－c都是非零向量，∴a·b＝a·c⇔a·b－a·c＝0⇔a·(b－c)＝0⇔a⊥(b－c)，故“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的充要条件．故选C.
4．(2018·黑龙江大庆第一次质检)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|
＝( )
A. B．4
C．3 D．2
答案 B
解析 ∵a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4.∴a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝(－4，－8)，
∴|2a＋3b|＝＝4.故选B.
5．已知向量a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|等于( )
A. B．2
C．5 D．25
答案 C
解析 由a＝(1，2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5.
∵|乌氏粘度计原理a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝20.
∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C.
6．(2018·甘肃武威十八中月考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设两个非零向量a，b的夹角为θ.因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，即2a2＋|a||b|cosθ＝0.因为|b|＝4|a|，|a|≠0，所以cosθ＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.
7．如图所示，已知正六边形P1圆弧齿同步带P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( )
A.· B.·
C.· D.·
答案 A
解析 由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角为π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos30°＝a2，·＝||||cos60°＝a2.故选A.
8．(2018·河南高中毕业年级考前预测)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2＝＋，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为( ) A. B．－
C．－ D.
答案 D
解析 因为2＝＋，所以－＋(－)＝0，即＝－，即外接圆的圆心O为BC的中点，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．又因为||＝||＝1，所以∠ACB＝，|CA|＝，则向量在向量方向上的投影为||cos＝×＝.故选D.
9．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
答案 B
解析 由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b弹簧制作〉＝，故选B.
10．(2018·沧州七校联考)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)( )
A．有最大值为8 B．是定值6
C．有最小值为2 D．与点的位置有关
答案 B
解析 因为点P在边BC上，所以存在实数λ，使＝λ＋(1－λ)，所以·(＋)＝[λ＋(1－λ)]·(＋)＝4＋·＝6.故选B.
11．(2018·河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 B
解析 ∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，∴·＝(＋)·(＋)＝||2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.故选B.
12．(2018·河南豫北名校联盟对抗赛)已知△ABC的外接圆的半径为1，圆心为点O，且3＋4＋5＝0，则·＝( )
A. B.
C．－ D.
答案 C
解析 因为||＝||＝||＝1，由3＋4＋5＝0得3＋5＝－4和4＋5＝－3，两个式子分别平方可得·＝－和·＝－.所以·＝无触点稳压电源·(－)＝·－·＝－.故选C.
13．(2017·课标全国Ⅰ，理)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
答案 2
解析 本题考查向量的运算．|a＋2b|＝＝＝＝2.
14．(2018·江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中，2＝，BC的中点为F，＝2，则·＝________．
答案 －
解析 以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．
∵正方形ABCD的边长为1，
∴B(1，0)，D(0，1)，E(，0)，F(1，)．
设G(a，b)，由＝2，得(，)＝2(a－1，b－)，
解得∴G(，)．∴＝(1，)．∵＝(－1，1)，∴·＝－1＋＝－.
15．(2018·河北衡水四调)在△ABC中，AB＝3，AC＝5.若O为△ABC的外接圆的圆心，则·＝________．
答案 8
解析 设BC的中点为D，连接OD，AD，则⊥，所以·＝(＋)·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×(52－32)＝8.
16．(2018·上海静安区一模)在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点M是△ABC外接圆上任意一点，则·的最大值为________．
答案 12
解析 如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，△ABC外接圆的方程为(x－)2＋(y－2)2＝.
设M(＋cosα，2＋sinα)，
则＝(＋cosα，2＋sinα)，
＝(3，0)，·＝＋cosα≤12，当且仅当cosα＝1时，等号成立．
17.(2018·上海闵行区一模)如图，已知半径为1的扇形OAB，∠AOB＝60°，P为弧上的一个动点，则·的取值范围是________．
答案 [－，]
解析 ·＝·(－)＝·－·＝cos∠BOP－cos∠AOP＝cos(60°－∠AOP)－cos∠AOP＝cos∠AOP＋sin∠AOP－cos∠AOP＝sin∠AOP－cos∠AOP＝sin(∠AOP－30°)．∵0°≤∠AOP≤60°，∴－30°≤∠AOP－30°≤30°，∴－≤sin(∠AOP－30°)≤.∴·的取值范围为[－，]．
18．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 答案 (－7，－)∪(－，－)
解析 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
解得－7<t<－.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
可求得 ∴
∴所求实数t的范围是(－7，－)∪(－，－)．
1．(2015·课标全国Ⅱ，文)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 C
解析 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
2．(2017·保定模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a，b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 ∵(a＋泡面碗b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝，cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.故选C.
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