学习任务核心素养1．掌握向量长度计算公式．(重点) 2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(重点、难点) 通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养．
立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥．1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥．1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体． 问题：在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？
知识点1空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
1．在空间中怎样求两点之间的距离？
[提示]利用向量法转化为求向量的模．
苏州反光背心1．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C 的距离|CM|等于()
A．53
4
B．53
2
C．53
2
D．13
2
化纤丝
C [∵M 点坐标为⎝ ⎛⎭
滑环电机
⎪⎫2，32，3， ∴|MC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12
轴流风机启动＋(3－0)2＝532．] 知识点2 点到直线的距离
给定空间中一条直线l 及l 外一点A ，因为l 与A 能确定一个平面，所以过A 可以作直线l 的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A 到直线l 的距离．
2．如何用向量法求点到直线的距离？
[提示] 如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点． 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，则点A 到直线l 的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量P A →在s 上的投影的大小|P A →·s 0|等于线段P A ′的长度，所以根据勾股定理有点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2．
s 0是s 同方向的单位向量．点A 到直线l 的距离公式也可以写成d ＝|P A →|2－|P A →·s |s ||2．
2．已知直线l 过定点A (2，3，1)，且方向向量为s ＝(0，1，1)，则点P (4，3，2)到l 的距离d 为( )
A ．322
B ．22
C ．102
D ．2
A [AP →＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d ＝
排气阀组|AP →|2－|AP →·s |s ||2＝
5－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝322．] 知识点3 点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A ，过A 可以作平面α的一条垂线段，
城市垃圾处理垂线段的长称为点A 到平面α的距离． 点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)一般地，若A 是平面α外一点，B 是平面α内一点，n 是平面α的一个法
向量，则点A 到平面α的距离为d ＝|BA →·n ||n |．
若点A 是平面α内一点，则约定A 到平面α的距离为0．
3．已知平面α的一个法向量n ＝(1，0，1)，点A (－1，1，0)在α内，则平面外点P (－1，1，1)到平面α的距离为________．
22 [AP →＝(0，0，1)，n ＝(1，0，1)，d ＝|AP →·n ||n |＝12＝22
．] 知识点4 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离．如果直线l 与平面α平行，n 是平面α的一个法向量，A ，B 分
别是l 上和α内的点，则直线l 与平面α之间的距离为d ＝|BA →·n ||n |．
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n 是平面β的一个法向量，A 和B 分别是平面α
和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d ＝|BA →·n ||n |．
(3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．
3．线面距、面面距与点面距有什么关系？
[提示]
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