摘 要:本文将考虑当满足都是n阶方阵,时,如何求的公共特征向量,而且得到所有公共特征向量的求法及相关研究.
关键词: 可换矩阵;特征向量;对角矩阵.
The commutative matrixs public characteristic vector studies
Li Hui
(Department of Mathematics, Xiaogan University,031114310)
Abstract: This article considered when satisfies AB=BA, how asks A, the B publiccharacteristic vector, moreover obtains A, the B all publiccharacteristics 沼气储存
vector asks the law.
KeyWords: commutative matrixs; characteristic vector; diagonal matrix.
0 引言
在文献[1]中证明了
命题1 若都是复数域上的阶方阵,且,则与至少存在一个公共的特征向量. 对于命题1的证明,通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题,考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性,但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量,以及公共特征向量的具体形式,而这些在理论与应用上都是很有用的.
本文将解决如下问题:
在第一部分,对满足的阶复方阵,用新的方法证明了有公共特征向量,该方法的一大优点是,能求出的所有公共特征向量;
在第二部分,对可换矩阵存在公共特征向量所依赖的数域进行了讨论,通过构造反例,修正了文献[2,3]中的疏误;
在第三部分,对可换矩阵的更进一步的结果进行了探讨。
1 可换矩阵的公共特征向量
定理1 若,且,则与一定存在公共的特征向量.
证明 因为,则在复数域上一定存在特征值,取的任一个特征值,考虑的特征子空间 降噪咪头
设,则,设为的一组基,则,于是有,.
在下面的证明中,我们将证明存在的属于的一个特征向量,使也是的一个特征向量,即存在某数使成立,从而为与的公共特征向量.
由于为的一组基,设
(1)
由,则,即得,.则有,,使得
下步将寻不全为零的,使(1)成立,并且使为与的公共特征向量.
2硅酸铝纤维毡而
由及线性无关,得
(2)
即 ,记,即得,也即
(3)
当时,上式有非0解,此式说明是的特征值.定理1证毕.
定理1证明了与有公共的特征向量,通过定理1的证宝石饰品明,我们还看出, 对于的任一特征值,属于该特征值的所有特征向量中,一定存在的特征向量.于是有推论:
推论 1 若复方阵满足,且有个互不相同的特征值,则与至少有个线性无关的公共特征向量。
证明 设是的个互不相同的特征值,按照定理1的证明,在的每个特征子空间中都存在的特征向量,,而属于不同特征值的特征向量必线性无关,得是与的个线性无关的公共特征向量。
推论 2 若阶复方阵满足,且有个互不相同的特征值,则存在可逆矩阵,使得与都是对角矩阵。
芯片破解证明 由推论1知与有个线性无关的公共特征向量,作矩阵,则与都是对角矩阵。
下面,我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量。
例1 求可换矩阵所有的公共特征向量。
,
解 容易验证,的特征多项式为
.
∴ , .
对,由,得,,基础解系为,
而,定理1中的为矩阵,于是,于是公共特征向量为
,为任一不为零的常数
对,由,得,基础解系为,
而,,
定理1中的,,即,
对,,得,于是公共特征向量为,即,为任意不为零的常数。
对,,得,于是公共特征向量为,即,为任意不为零的常数。
于是所有公共特征向量的形式为:
,,
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为任意不为零的常数。
2 一个反例