第四章习题解答
.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。 解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r
p i p
p x
)ˆˆ()21()(3 ⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z r
p i
)()21(3
⎰⋅⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i e r
p i z
y y z r p i
)
)(()21(3
⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i r p p i z y y z
）
（3)21)()((
)()(p p p p p p i y z z y '-∂∂
-∂∂= δ
⎰''=τψψd L x L p x p p p x 2
*2)()(
⎰⋅⋅'--=τπd e p z p
y e r p i y z r
p i
23)ˆˆ()21( ⎰
⋅⋅'---=τπd e p z p y p z p
y e r p i y z y z r
p i
)ˆˆ)(ˆˆ()21(3 ⎰''-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i p z p y e r
p i y
z z y y z r p i
))()(ˆˆ()21(3
⎰⋅⋅'--∂∂-∂∂=τπd e p z p
y e p p p p i r p i y z r
p i y z z y
)
ˆˆ()21)()((3 ⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p r p p i y z z y
）
（322
)21()(
)()(22p p p p p p y
z z y '-∂∂-∂∂-=
δ
#
求能量表象中，一维无穷深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解：基矢：x a n a x u n π
sin 2)(=
能量：2
2
222a
n E n μπ = 对角元：
2
sin 202a
xdx a m x a x a mm ==⎰π
那时，n m ≠ ⎰⋅⋅=
a mn dx a n x x a m a x 0)(sin )(sin 2π
π []
[]
1)1()
(4)(1
)(11)1(])(sin )()(cos )([ ])(sin )()(cos )([1)(cos )(cos 12
22222202
22
02220---=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+----=⎥⎥⎦⎤+++++-⎢⎢⎣
⎡--+--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--=--⎰n m n m a
a
a n m m n
a
n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a a dx x a
n m x a n m x a πππ
πππππππππ
[]
[]
a n m m n i n m n m a a n i x a n m n m a x a n m n m a a n i dx
x a n m x a n m a n i xdx
a n x a m a
n i xdx
a
n dx d x a m a i dx x u p x u p n m n
m a
a a a n m mn )(21)1(]1)
1()(1)(1 )(cos
)()(cos )()(sin )(sin cos sin 2sin sin 2)(ˆ)(22
20
202020*
---=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=⋅-=⋅-==--⎰⎰⎰⎰
π
ππ
ππππππππππππ
#
),(),(2),(21222
免清洗助焊剂
22t p EC t p C p t p C dp
d =+-μμω 即 0),()2(),(2122222=-+-t p C p E t p C dp d μμω 两边乘以ω 2
，得
0),()2(),(112
22=-+-
t p C p E t p C dp d
μωωμω
令
μωββμωξ1
, 1
=
==p p
ω
λ E
2=
0),()(),(222
=-+t p C t p C d d ξλξ
跟讲义式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
t
E i
n p n n n e p H e N t p C n E
--=+=)(),()(222121βω
β 式中n N 为归一化因子，即
2/12/1)!
2(n N n n πβ
=
#
.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：222222222
1221ˆ21ˆx x x p H μωμμωμ+∂∂-=+= ⎰
='dx x H
x H p
p p
p )(ˆ)(*ψψ ⎰'-+∂∂-=dx e x x e x p i
px i
)
2
12(2122222μωμπ ⎰⎰∞∞
--'∞∞--'+'-=dx e x dx e p i x p p i
x p p i
)(22)(22212121)(2 πμωπμ
⎰∞∞--''∂∂+-''=dx e p i p p p x p p i
)(22
222)(2121)(2
πμωδμ ⎰
∞
∞
-
-''∂∂+-''=dx e
p i p p p x p p i
)(2
2
2221
)(21)(2
απμωδμ
)(21)(222
222p p p p p p -''
∂∂--'=δμωδμ )(21)(222222p p p
p p p -'∂∂--'=δμωδμ #
设已知在Z L L ˆˆ2和的一路表象中，算符y
x L L ˆˆ和的矩阵别离为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010******* x L ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=0000022i i i i L y
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵y x L L 和对角化。 解：x L 的久期方程为
002
220223=+-⇒=---λλλ
混炼机
λλ
-===⇒3210λλλ，，半导体除湿机
∴x
L
ˆ的本征值为 -，，0 x
阻燃纤维L ˆ的本征方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213210101010102a a a a a a λ
其中⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=321a a a ψ设为x
L ˆ的本征函数Z L L ˆˆ2和一路表象中的矩阵 当01=λ时，有
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0000101010102321a a a
0 00022132312=-=⇒⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a a a a ，
∴ ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=1100a a ψ
由归一化条件
神奇蚯蚓养殖技术2111*
1*10020),0,(1a a a a a =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==+ψψ
取 2
11=
a
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=210210ψ对应于x
L ˆ的本征值0 。 当 =2λ时，有
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213210101010102a a a a a a
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+1
3
321232123122221)(2121a a a a a a a a a a a a a
∴ ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1112a a a ψ
由归一化条件
21111*
1*1*142),2,(1a a a a a a a =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
取 2
1
1=a
∴归一化的⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=212121 ψ对应于x
L ˆ的本征值 当 -=2λ时，有
滑动门技术
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3213210101010102a a a a a a ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+13321
23212
311
2221
)(2121a a a a a a a a a a a a a ∴ ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-1112a a a ψ
由归一化条件
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