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基于正规摄动法的达芬系统的求解

第50卷第1期2021年1月

内蒙古师范大学学报(自然科学版)

Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition)

Vol.50No.1

Jan.2021基于正规摄动法的达芬系统的求解

莘智，侯瑾蓉

(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022)

摘要：利用正规摄动法求解达芬系统中两种振动的解析解并提高其精度。首先，利用正规摄动法解决达芬系统受简谐激励的受迫振动的解析解，并将其由二阶提高到三阶。其次，将多频激励的受迫振动的解析解由一磺酸酯

阶提高到二阶。

关键词：正规摄动法；达芬系统；弱非线性系统

中图分类号：O302文献标志码：A文章编号：1001—8735(2021)01—0031—05

doi：10.3969/j.issn.1001—8735.2021.01.005

0引言

解析方法是研究非线性振动的定量分析方法，即通过精确地或近似地寻求非线性微分方程的解析解，得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和初始条件的依赖关系。最早正规摄动法是由泊松提出来的, 1830年泊松在研究单摆的振动时，提出将非线性系统的解按小参数的幂次展开的近似计算方法，称为摄动法或小参数法［12］。正规摄动法是一种求解弱非线性系统解析解的近似方法，摄动法所得的结果既简单又有效，是解决非线性振动问题重要的方法之一卩6］。

讨论下面带小参数的动力学方程所描述的单自由度非自治系统［］

—+氊0x=F()+£f(X,X)。(1)此动力学方程阻尼项较微弱而被忽略或并入f(——内，在£—0时，此方程退化为方程

X+氊0x=F(),(2)这个系统称为原系统(1)的派生系统。若设X0(t是派生系统方程的周期解，那么当原系统(1)也存在周期解时，就可以在X0t的基础上进行修正作为原系统方程的解，将原系统方程的周期解［］设为

x(t£)—X0()+£X1()+£2X2t+…。(3)将所设的解代入方程(1)中，并设f(xX)为—和—的解析函数，方程右边可展开成泰勒级数得到X0+s—1+£2X2+£3X3+…+氊0(x0+£X1+£2X2+£3X3+…)—

£[f(X0,，0)+f(X0)(X1+£X2+£X3+•••)+灥/"X0「X°)(£1+£2»2+£3»3+"*)+

灥——

1灥2f(X0,0)

2!X

(£x1+£2x2+£3x3+ (2)

2灥f"(0，X0)(X1+£2X2+£3X3+•••)(/1+£2厲2+£3»3+•••)+

2!灥x d x

1灥2f(X0,0)

2!灥2

1+£X2+£F+...)2+3；灥f(X3,0)(X1+£x2+£x3+ (3)

收稿日期:2020-05-07

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11761055)内蒙古自治区自然科学基金资助项目(2017MS0123)；内蒙古师范大学科研基金资助项目(2016YJRC014)

作者简介：莘智(1977—)，男(蒙古族)内蒙古太仆寺旗人，内蒙古师范大学讲师，博士，主要从事非线性动力学研究,E-mail；xinzhi_ 2006@sina。

・32・内蒙古师范大学学报(自然科学版)第50卷3灥3f('0,0)

3!X2灥

('1+£2'2+£3'3+…)(£1+£2»2+£3^3+…)+

3灥・'0)(X1+£2'2+£3'3+…)(£1+£2'・2+£3必+----)2+

3!灥X灥x2

1灥3f(X0,，0)

3!灥厲3

(£1+£2+£3+…)3+…」+Ft°(4)其中任意的£取值对于这个方程都是成立的，令两边£的同次幕系数相等，由此得各阶近似解的微分方程组・，0+氊0'0=F t,(5)・1+氊0X1=f(X0,X0),

・2+氊2X2=X1灥f(X0,X0)

灥X

+i1

灥f(X0,X0)

灥X

X3十氊0'3—X2灥f(X0,X0)

灥X

+'2f(

X0,，0)+'2灥2f(X0 ,，0)

灥/+2!灥X2

2X1X1灥2f(X0,，0) 2!灥x灥x +・灥2f(X0,，0)

+2!灥e・2

(6)

(8)

由方程(5)可以解得派生解X0(t的值，再将X0(t的值代入方程(6)中，可以得到关于X1的微分方程，解出X1的值，以此类推代入下一个方程中，便可求出各阶近似解°将这些值再代入方程(3)中，由此求得原系统(1)的周期解，即为利用正规摄动法求渐进解的方法°

1远离共振的受迫振动

讨论达芬系统受简谐激励的受迫振动，其动力学方程为

•+氊2(x+£x3)=F°cos＜氊,(9)其中氊是指系统在一定时间里实际进行激励的次数，称为激励频率，远离派生系统的固有频率氊0°仍设此

方程的解为(3)式，即

x(,)=X0()+£X1(t)+£2X2()+•…

将此级数形式的解代入方程(9)可以得到

(・0+£i'1+£2・2+£3・3+…)+氊0[X0+£X1+£2X2+£3X3+…+

£(X0+£X1+£2X2+£3X3+•••)3]=F o cos氊°

令方程两边£的同次幕系数相等，由此可以推导出以下线性微分方程组

(10)

・0+氊0X0=F q cos cot,(11)

x1+氊0X1—一co0x0,(12)

・2-+o2X23氊0x。X],(13)

・3-+o2X33o o X0x23氊2x°X2,(14)故而可以解出方程(11)的一般解为

X0=A°cos(氊0丫+毴0)+A cos cot,(15)其中A0和毴0是积分常数，由初始条件决定°右边第一项为自由振动，第二项为受迫振动，由于系统中存在阻尼项，所以自由振动项会逐渐衰减直至消失，方程的解只剩下

X0=A cos cot°(16)将其代入方程(11)中，得到振幅A为

A=「_0_2°(17) o20—o2

再将(17)式代入方程(12)中，可得到

第1 期莘智等：基于正规摄动法的达芬系统的求解・33・

x 1 +氊0 X 1氊0 A (3cos ot + cos 3ot )。

4(18)

设特解X 1为

氊2 A 3

X 1 = B 1 cos cot + B 2 cos 3o )t , 将上述所设特解代入方程(18)中，可求出

异丙醇钛

3o 2 A 3 B =—4(氊 0—氊2)， 2 4(氊 0—9 氊2)将(16)式和(19)式代入方程(13)中得到

X 2 +氊0x 2 = 一 3 氊 0A 2(B 1 cos 3c t + B 2 cos 2 c t cos 3氊 t ),

在经过必要地三角运算之后，上述方程转化为

o 2A 2——J(B 1 + B 2 )cos ot + (B 1 + 2B 2 ) cos 3o + B 2 cos 5o ]。2X 2十氊0X 2设此方程特解为

(19)

(20)

(21)X 2 = C 1 cos cot + C 2 cos 3o )i + C 3 cos Scot , 将上述所设特解代入方程(21)中，可求出

c 3 氊 0A 2 、 c 3 氊 0A 2 /D D 、 c 3 氊 0A 2B 2C 1 = —4(1—O )(B 1 十 B ) C =一4(氊 2—9 氊 2)(B 1 十 B )，C =一4(氊 0—25 氊 2)。将(16)式,(19)式和(22)式代入方程(14)，可得到

x 3 +氊2 X 3 = 一3co 0 A cos O (B 1 cos c t + B 2 cos 3氊t )2 — 3co 0 A 2 cos 2 氊(C 1 coscot + C 2 cos 3氊 + C 3 cos 5氊)。在经过必要地三角运算之后，上述方程转化为

—3氊0A [(3B 1 +2B ]B 2 +2B 2 +3C + AC 2)cos o +

(B 12 +4B 1B 2 +AC 2 +AC 3)cos3ot +

(2B 1B 2 +B 22 +AC 2 +2AC 3)cos5ot + (B 2 +AC 3)cos7ot ]。设此方程的特解为(22)

(23)(24)

X 3 = D 1 cos cot + D 2 cos 3氊t + D 3 cos 5o + D 4 cos 7氊t ,

将上述所设特解代入方程(24)中，可以求出

厂 3氊 0A (3B 1 +2BB +2B 2 + 3C 】+ AC 2)

D 1 —(25)4(氊0—氊2)

3氊2 A (B ： +4B 1B 2 + AC 2 + AC 3)

4 (co 0一 9氊2 )

3氊 2A (2B ]B 2 +B 2 +AC 2 + 2AC 3)

(26)

4 （co 0一 25氊2 ）

3 氊 0AB 2 + AC 3）

4（氊0一 49氊2）。以此类推进行运算，可以算出更高阶的近似解，将各阶近似解代入（3）式，最终得到原系统的受迫振动解

x = （A + B 1 + £2 C 1 + £3 D 1 + …）cos c t + （B 2 + £2 C 2 + £3 D ? + …）cos 3（氊 +

（£2C 3 + £D 3 + ...）cos 5氊 +（£3D 4 + ...）cos7c t + (27)

在这里用省略号代替更高阶的近似解，并且在此周期解中，不仅包含了氊而且还有3氊、5氊、7氊…频率高次谐波同时发生，这种现象称为倍频响应。

2 多频激励的受迫振动

讨论当硬弹簧系统受到两个不同的激励频率的影响，设这两个激励频率分别是氊1和氊2，可得到动力

学方程

x +氊 0（x +£x 3） = F 1 cos o 11 + F 2 cos 氊 21。（28）

同样地，设该动力学方程的周期解为（3）式的形式，即

2X 3 + O 2X 3B

・34・内蒙古师范大学学报（自然科学版）第50卷

x （ ,） = X 0 （t + £X 1 （） + £2 X 2 （） + …

将上述所设解代入方程（28）中，并且让方程两边£相同次幕的系数相等，由此可以推导出一系列方程

・0 + o 2 X 0 = F 1 cos o 1 t + F 2 cos o 2 ,

(29)・1 +氊2 X 1 =—氊0 x 00(30)

・2 + 氊0 X 2 =—氊0 X 1 ,

(31)设方程（29）的特解为

X 0 = A 1 cos o 1 t + A 2 cos o 2 ^ ，将上述所设的特解代入方程（29）的左边，可以得到

F 1 a = F 2

o 2 —o 12 o 2 —o 22将特解（32）式代入方程（30）中，可以得到

・1 + o 0 X 1 = 一o 0（ A 1 COS o 1 t + A 2 cos o 2 t 3

(32)

(33)

(00 [3A 1 (A 1 +2A 2)cos o 1t — A 2 (A 2 +2A 1)cos o 2t — cos 3o 11 +A 3 3 3

cos 3o 21 十—A 1A 2 cos 2o 11 cos o 21 +》A 1 A 2 cos o 11 cos 2o 21 =

gj 0{ 3A 1 (A 2 +2A 2)cos o 1t — A 2 (A 2 + 2 A 2) cos o t +

A 3

A 3 3cos 3o 11 十——cos 3o 21 十— A 2 A 2 [cos ( 2o 1 + 氊2)) + cos ( 2o 1 一 02)」+

3A 1A 2 [cos (2o 2+ o 1)t + cos (2o 2一 o 1 )」} °设方程(34)的特解为

X 1 = B 1 cos o 11 + B 2 cos o 21 + B 3 cos 3o 11 +

B 4cos3o 2t +B 5cos2o 1t cos o 2t +B 6cos o 1t cos2o 2t , 将所设的特解(35)式代入方程(34)中，可以解得

3o 4A 1(A - +2A 2)4(o 2— o 2)3o 4A 2(2A - + A 2)(34)(35)

火焰检测B = — o 0 A 2B 4 = —4(o 2—9o 2)，B — — 3A 1 A z o 05 = —2(o 4—4o 1—o 2)，_____________________ —______3 a 1 a 2 o 0

4(o 0— 9o 2) 6 2 (o 2将(32)式和(35)式代入方程(31)的右边，得到

・2 + o 2 X 2 =一 3o 2 (A 1 cos o 11 + A 2 cos o 212(B 1 cos o 11 + B 2cos o 2t +

B 3cos3o 1t +B 4cos3o 2t +B 5cos2o 1t cos o 2t +B 6cos o 1t cos2o 2t )=

A 2 A 2 AA

[A 1 (3B 1 + B 3) — (2B 1 + B &)-----(B ? + B 5 )cos o 11 +

B 2

B 34(o 20 —o 22) o 20 A 31(36)B 6o 12—4o 22)

A B

[A 1(2B 2 + B 5) — (3B 2 + B 4)-----(2B 1 + B 6 )cos o 21 +

1 (A 1B 1 + 2A ： B 3 + 2A

2 B

3 + 2A 1A 2B 5) cos 3氊 11 +

1(2A 2B 4 + A 2 B 2 + 2A 2 B 4 +2 A 1A 2 B &) cos 3o 21 — A ： B 3 cos 5o 11 — A 2 B 4 cos 5o 21 +

2[A 1 B 2 + B 5) + —A 2 B 5 十---B 1 + B 3 + 2B 6) ) [cos (2o 1+ o 2 ) t + cos (2o 1 — o 2 )」+4 8 2

第1期莘智等：基于正规摄动法的达芬系统的求解-35-

1（2A1B4十A；B5十2A1A2B6）[cos（2氊]十3co2）t十cos（2氊]一3氊Jz]十

A2AA

[3A1B6十十B§）十一（B2十B4十2B5））[cos（氊1十2氊2）t十cos（氊1一2氊2）t十

842

1（A] B&十2A2：B3十2A1A2B5）[cos（3氊]十2氊J）十cos（3氊]一2氊Jz]十

1（A2B5十4A1A2B5）[cos（4氊1十氊2）十cos（4氊1一cu2）i]十

推力反向器8

1（A；B&十4A1A2B4）[cos（氊i十4氊2'）t十cos（氊]一4氊J t。（37）

从方程（34）和方程（37）可以观察到，不仅含有频率氊]和氊2以及它们的倍数，而且还有2氊]十氊2,

|2氊1—如|，氊1十3氊…|2氊1—3氊2|等组合起来的频率，这种组合起来的频率，不符合线性系统变化规律的频率称为频率耦合现象，是非线性系统的又一重要特征。

3结论

正规摄动法通过将解展成小参数的幕级数形式，弋入原方程后，艮据各阶小参数的次数相等，转化为线性微分方程组进行求解，从而得到原方程的解。本文利用正规摄动法解决达芬系统受简谐激励的受迫振动的解析解，将其由二阶提高到三阶，对于多频激励的受迫振动的解析解将其由一阶提高到二阶。

参考文献：

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time-delayed Duffing oscillators[].Journal of Differential Equations,020,268（10）：5969-5995.

Solution of Duffing System Based on Normal Perturbation Method

XIN Zhi,HOU Jin-rong

（MathematicsScienceColege,InnerMongoliaNormalUniversity,Hohhot010022,China）Abstract:The

normal perturbation method is mainly used to solve the analytical solutions of two kinds of vibrations and improve their accuracy in the Duffing system.Firstly?it is used to solve the analytical solution of the forced vibration of the Duffing system excited by simple harmonic,nd then the solution is promoted from the second order to the third order.Secondly,the analytical solution of the forced vibration of the multi-frequency excitation is promoted from the first order to the second order.

Key words:normal perturbation method;Duffing system；weakly nonlinear system

碳化稻壳

【责任编辑刘凤祥】

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