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GARCH模型

GARCH 模型

GARCH 模型的定义

ARCH 模型的实质是使⽤残差平⽅序列的q 阶移动平移拟合当期异⽅差函数值，由于移动平均模型具有⾃相关系数q 阶截尾性，所以ARCH 模型实际上只适⽤于异⽅差函数短期⾃相关系数。

但是在实践中，有些残差序列的异⽅差函数是具有长期⾃关性，这时使⽤ARCH 模型拟合异⽅差函数，将会产⽣很⾼的移动平均阶数，增加参数估计的难度并最终影响ARCH 模型的拟合精度。

为了修正个问题，提出了⼴义⾃回归条件异⽅差模型，这个模型简记为GARCH （p,q ）.

GARCH 模型实际上就是在ARCH 的基础上，增加考虑异⽅差函数的p 阶⾃回归性⽽形成，它可以有效的拟合具有长期记忆性的异⽅差函数。ARCH 模型是GARCH 模型的⼀个特例，p=0的GARCH （p,q ）模型。

AR-GARCH 模型

对序列拟合GARCH 模型有⼀个基本要求：零均值，纯随机，异⽅差序列。

有时回归函数不能充分提取原序列中的相关信息，可能具有⾃相关性，⽽不是纯随机的，这时需要对序列拟合⾃回归模型，再考察⾃回归模型的⽅差奇性，如果异⽅差，对它拟合GARCH 模型。这样构造的模型为AR(m)-GARCH(p,q).

分析拟合1979年12⽉31⽇⾄1991年12⽉31⽇外币对美元⽇兑换率序列：

外币对美元⽇兑换率序列时序图

对差分序列性质的考察

外币对美元⽇兑换率序列1阶差分时序图

外币对美元⽇兑换率序列1阶差分⾃相关图

外币对美元⽇兑换率序列1阶差分偏⾃相关图

序列时序图显⽰序列⾮平稳，有明显的趋势特征，差分后序列时序图显⽰趋势消除，但是有明显的集效应，所以分析该序列需要同时提取⽔平相关信息与波动相关信息。

⽔平信息的提取是考察差分后的⾃相关性与偏相关性，拟合ARIMA(0,1,1)

。

w <-read.table("D:/R-TT/book4/4R/data/file23.csv",sep=",",header = T )x <-ts(w$exchange_rates,start=c(1979,12,31),frequency = 365)plot (x)

23plot(diff(x))

1acf(diff(x))

1pacf(diff(x))

该拟合模型的残差⽩噪声检验显⽰该模型显著成⽴，利⽤该拟合模型可以预测列未来的⽔平。

#⽔平相关信息提取，拟合ARIMA(0,1,1)模型x .fit <-arima(x ,order = c(0,1,1))x .fit Call:arima(x = x , order = c(0, 1, 1))Coefficients: ma1 0.0357s .e . 0.0143sigma^2 estimated as 0.0002007: log likelihood = 13545.61, aic = -27087.221

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> #残差⽩噪声检验> for (i in 1:6) print(Box .test (x .fit $residual,type = "Ljung-Box",lag=i)) Box-Ljung test data: x .fit $residual X -squared = 0.0005354, df = 1, p-value = 0.9815 Box-Ljung test data: x .fit $residual X -squared = 0.55102, df = 2, p-value = 0.7592 Box-Ljung test data: x .fit $residual X -squared = 2.6528, df = 3, p-value = 0.4483 Box-Ljung test data: x .fit $residual X -squared = 3.3062, df = 4, p-value = 0.5079 Box-Ljung test data: x .fit $residual X -squared = 6.8276, df = 5, p-value = 0.2338 Box-Ljung test data: x .fit $residual X -squared = 6.8306, df = 6, p-value = 0.3368

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37#⽔平预测，并绘制预测图library(forecast)x .fore <-forecast(x .fit ,h=365)plot(x .fore )

外币对美元⽇兑换率序列⽇预测图

波动信息的提取⾸先是考察ARIMA(0，1，1)模型的残差平⽅序列的异⽅差特征，Portmanteau Q 检验显⽰残差序列显著⽅差⾮齐性，且具有长期相关性，所以构造GARCH （1，1）模型，并根据该模型的拟合结果绘制波动的95%置信区间。

#条件异⽅差检验(Portmanteau Q 检验)for (i in 1:6) print(Box .test (x .fit $residual^2,type = "Ljung-Box",lag=i))Box-Ljung test data: x .fit $residual^2X -squared = 82.803, df = 1, p-value < 2.2e-16 B

ox-Ljung test data: x .fit $residual^2X -squared = 237.9, df = 2, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung test data: x .fit $residual^2X -squared = 343.33, df = 3, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung test data: x .fit $residual^2X -squared = 490.84, df = 4, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung test data: x .fit $residual^2X -squared = 602.1, df = 5, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung test data: x .fit $residual^2X -squared = 841.96, df = 6, p-value < 2.2e-16

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外币对美元⽇兑换率序列残差波动置信区间

GARCH 衍⽣模型

GARCH 模型给出了对波动性进⾏描述的⽅法，为⼤量的⾦融序列提供了有效的分析⽅法，它是迄今为⾄最常⽤的、最便捷的异⽅差序列拟合模型。但是，⼤量的使⽤经验表明，它也存在⼀些不⾜。

⼀是它对参数的约束⾮常严格，⽆条件⽅差必须⾮负的要求，导致以参数⾮负的约束条件，同时有条件⽅差必须平稳的要求，要求参数有界。参数的约束条件⼀定程序上限制了GARCH 模型的适⽤范围。

⼆是它对正负扰动的反应是对称，扰动项是真实值与预测值之差。如果扰动项为正，说明真实值⽐预测值⼤，对于投资者⽽⾔就是获得超预期收益。如果扰动项为负，说明真实值⽐预测值⼩，对于投资者⽽⾔就是出现超预期亏损。硅料回收

为了拓展GARCH 模型使⽤范围、提⾼GARCH 模型的拟合精度，统计学家从不同的⾓度出发，构造了多个GARCH 模型的衍⽣模型。

1.指数GARCH 模型（EGARCH)

2.⽅差⽆穷GARCH 模型(IGARCH)

3.依均值GARCH 模型(GARCH-M) #拟合GARCH(1,1)模型r .fit <-garch(x .fit $residual,order=c(1,1))summary(r .fit )Call:garch(x = x .fit $residual, order = c(1, 1))Model:GARCH(1,1)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -

4.83074 -0.58407 0.02616 0.58758 4.54060 Coefficient(s): Estimate Std . Error t value Pr(>|t|) a0 2.133e-06 3.014e-07 7.077 1.48e-12 ***a1 7.623e-02

5.456e-03 13.972 < 2e-16 ***b1 9.144e-01

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6.015e-03 152.009 < 2e-16 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Diagnostic Tests: Jarque Bera Test data: Residuals X -squared = 319.23, df = 2, p-value < 2.2e-16 Box-Ljung test data: Squared .Residuals X -squared = 0.28019, df = 1, p-value = 0.5966`1

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