微分几何练习题
一 判断题
1 曲线}sin ,cos ,{cos 2θθθ=r 不是正则曲线。 ( ) 2 圆柱螺线},sin ,cos {θθθb a a r =的切线与z 轴成固定角。( )
3 空间曲线r = r (t), 当=)(t r 常数时，该空间曲线是圆。 ( )
4 若两个曲面间的变换是保角变换，则该变换也是等距变换。 ( ) 5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线，则曲线(c*)是曲线(c)的渐伸线。 ( )
6 2264dv dudv du +-可作为曲面的第一基本形式。( ) 7 若0=⋅n dr δ则方向)();(δd 是正交方向。( )
8 罗德里格定理实际上是主方向判定定理。( )
9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是0φ=l 。( ) 引出线
10 曲面的欧拉公式为θθ2221sin cos k k k n +=。( )
11 等距交换一定是保角变换。( )
12
空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。( ) 13
曲面之间的一个变换，如果伎曲面上对应曲线的交角相等则称为变换。( ) 14
222au两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。( ) 15 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。( )
二 填空题
1 向量函数r (t)具有固定长的充要条件是对于t 的每一个值，)('t r 都与r (t)___________。
2 设r ( t )为可微分的向量函数，且a t r =)('（a 为常向量，0≠a ），则曲线r = r ( t )的图形是___________。
3 螺线r = { cost , sin t , t}上点（1，0，0）的切线方程是___________。
4 正螺线r = {u cos v , u sin v , b v }坐标曲线的方程是___________。
5 仅由曲面的第一基本形式出发所能建立的几何性质，称为曲面的___________性质。
6 已知2
0},2cos ,sin ,{cos 33π<<=x x x x r ，a =_________,β =_________γ =_________ κ=_________,τ=_________。
7 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是_________曲线。
8 曲面的曲纹坐标网是渐近网的_________条件是L=N=0。
9 曲面的曲纹坐标网是共轭网的_________条件M=0。
10 主方向的判别定理（罗德里格定理），如果方向):()(dv du d =是主方向则：_________。 11 曲面上的曲纹坐标网是率线网的充分必要条件是_________。
12 曲面的第三基本形式为_________。
13 每一个可展曲面或是柱面、或是锥面、或是_________曲面。
14 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_________恒等于零。
15 设q p v v w ∈∈θ;；则：)(θ∧w d =_________。
16 沿曲面上一条曲线平行移动时，保持_________不变。
17 如果曲面的平行移动与路径无关，则_________曲面。
18 测地线是它的切线沿自身平行的曲线，即_________曲线。
19 当向量v 沿测地线平移时，它与测地线的_________保持不变。
20 正规曲线（c ）：r = r ( t )称为简单的，如果向量函数r ( t )在_________是_________；_________的。
三 选择题
单选题
1 曲线}1,cos ,{sin )(θθθ=r ，从0=θ到1=θ的弧长是。（ ）
A 、1
B 、 2
C 、2
D 、2/1
2 若空间曲线r ( t )与)('t r 都平行于固定平面，则该曲线的挠率为。（ ）
A 。1
B 。-1
C 。2
D 。0
3 抛物线y = x 2
在x = 0点的相对曲率1κ是。（ ）
A 。1
B 。2
C 。-1
D 。1/2
4 曲面上的点根据杜邦指标线Lx 2 + 2Mxy + Ny 2=1±进类，当LN - M 2<0时，称点P 为。 A 。椭圆点 B 。双曲点 C 。抛物点 D 。平点 （ ）
5 已知曲面上一点P 的高斯曲率K=2，平均曲率H=3/2，该曲面在点P 处的两个主曲率为 A 。 2、1 B 。2、0 C 。1、1/2 D 。-1、1 （ ） 多选题
6 空间曲线（C ）满足下列条件之一，均是平面曲线。（ ）
A 。0=τ
B 、0'''=⨯r r
C 、k=0
D 、 0)''','','(=r r r
7 下列关系式中表示曲线相对曲率的有（ ）
A 。2/322)(''''''y x y x y x +-
B 。x y – x y
C 。2
/3222])/(1[/dx dy dx y d + D 。2/322)(''''''y x y x y x +- 8 下列曲线为一般螺线的有（ ）
A 。曲线的主法线与固定方向成固定角
B 。曲线的切线与固定方向成固定角
C 。曲线的副法线与固定方向成固定角
D 。曲线的曲率与挠率之比为定值。
四 计算题
1 求圆柱螺线θθθb z a y a x ===;sin ,cos 在0=θ；点的三个基本向β;a Y 和密切平面、主法线方程。
2 求曲线};;{)(at asht acht t r =曲率与挠率。
3 已知曲面的第一基本形式为 0),(22>+=v dv du v I 求坐标曲线的测地曲率。
4 求球面}sin ;sin cos ;cos ,cos {φφθφθR R R r =上的第一、第二基本形式及法曲率。
5 求曲面z = xy 2的渐近曲线。
6 计算悬链面},sin cosh,;cos {cosh,u v u v u r =的第一、第二基本形式。
7 计算抛物面2x 3=5x 12+4x 1x 2+2x 22
在原点的第一、第二基本形式。
8 计算位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率。
9 计算球面}sin ;sin cos ;cos ;cos {θφθφθR R R r =的第一基本形式
10 求正螺面};sin ,cos {av v u v u r =上的测地线。
五 证明题
1 证明：如果空间曲线的所有切线都经过一个空点则此空间曲线是直线。
2 在曲面上一点，含du ; dv 的二次方程Pdu 2+2Qdudv+Rdv 2确定两个切方向):(dv du 和
(v u δδ:)证明这两个方向垂直的充要条件是：ER-2FQ+GD=0
3 问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？
4 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
5 证明一条曲线)(s r r =为一般螺线的充要条件是0),;(=r
r r )。 6 证明：在曲面Z=f (x)+g (y)上曲线族 x=常数；y=常数构成共轭网。
7 证明：命题1 K 2=K g 2+K n 2。
8 曲面的第一基本形式为I=E （u ）du 2+G(u)dv 2求证：u-曲线是测地线。
六 综合题
1 如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面交成空角，则它是平面曲线。
2 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证Γ是一条平面曲线。
3 证明曲面上曲纹坐标网是曲线网的充分必要条件是F=M=0。
4 求证平面族a 2x+2ay+2=2a 的包络
5 证明0==uv uu r r 的曲面);(:v u r r s =是柱面。
6求半径为R 的球面上测地三角形三内角之和。
7 证明曲率恒等于零的曲线是直线。
8 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线。
微分几何练习题参考答案
一 判断题
1 ×
2 √
3 √
4 ×
5 √
6 ×
7 √
8 √
9 √ 10 × 11√ 12 √ 13 × 14 × 15 √
二 填空题
1.垂直
2.直线
3.⎩⎨⎧=-=-001z r x
4.0
0==，dv du 5. 内在 6.};4;sin 3;cos 3{5
1--=x x a };0;cos ;{sin x x =β};3;sin 4;cos 4{51
--=x x γ
;2s i n 256x =κ ;2sin 258x =τ 7 。渐近 8 。充分必要 9。充分必要 10。dr dn λ= 11。F=M=0
12。 III=ds*2=dn 2=edu 2+2fdudv+gdv 2 13。 一条曲线的切线 14。 高斯曲率
15。 θθd w dw p ∧-+∧)( 16 。向量的内积 17。纹曲面一定是可展
18。 测地线是自平行 19。夹角 20。 一个周期内
太阳能跟踪控制器三 选择题
单选题1。A 2。D 3。A 4。B 5。A
多选题6。ABD 7。ACD 8 。BCD
分离式行车记录仪
四 计算题
1解：三个基本向量
22222cos sin },cos ,sin {0''b a a b a a r r a ++-===θθθθθ
},,0{10},c o s ,s i n {1
2222b a b a b a a b a +=
=-+=θθθ
2222221},,0{03
000''''''b
a a a a
b b a a b e a e a e r r r r +-=+-==⨯⨯=θγ }0,0,{1''''')'''('')'''(0)(a a
红外线烤炉r r r r r r r r r a -=⋅⨯⋅-⋅=
=⨯=θγβ 密切平面： }0,sin ,cos {''},.cos ,sin {'θθθθa a r b a a r --=-=
}0,0,{)0(''},,,0{)0('},0,0,{)0(a r b a r a r -=== 所求密切平面方程为a a
X --0
a Y 0
b Z = 0，即 0=+-aZ bY 主法线方程为：法平面方程为0)0()0(0)(=⋅-+⋅-+⋅-b Z a Y a X 。即0=+bZ aY
⎩⎨⎧=+-=+0
0aZ bY bZ aY ，即Y=Z=0 2.解：}0,,{'''},0,,{''},.,{'acht asht r asht acht r a acht asht r === 于是cht a r 2'=，
a c h t a s h t e r r 1
'''=⨯ a s h t a c h t e 2 },,{0
02223a c h t a s h t a e --=， c h t a r r 22'''=⨯，
所以曲率为t ch a r r r k 23221
''
塑木型材''=⨯=，
挠率为cht
a r r r r r 3221)'''()''','','(=⨯=τ， 3已知曲面的第一基本形式为0),(22>+=v dv du v I 求坐标曲线的测地曲率。 解 E=G=v ，F=0，G u =0 , E v =1
u-线的测地曲率 v v G E E K v g u 212-=-
= u-线的测地曲率：
02==E G G K u g u 4解：}sin ,sin cos ,cos cos {θφθφθR R R r
=，
}0,c o s c o s ,s i n c o s {φθφθϕR R r -=， }c o s ,s i n s i n ,c o s s i n {θφθφθθR R R r --=， 由此得第一类基本量222,0,cos R G F R E ===θ
因而 222222cos
θφθd R d R I +=。 又 }sin ,sin cos ,cos {cos 2θφθφθφφ=-⨯=
F E
G r r n ， }0,sin cos ,cos cos {φθφθφφR R r --=
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