§ 1曲面的概念
1.求正螺面 r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.
解 u-曲线为 r ={u cos v0 ,u sin v0 ,bv 0 }= {0,0 , bv0 } + u { cos v0 , sin v0 a-ga,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0 cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线. 2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直 母线。
证 u-曲线为 r ={ a (u+v。), b (u-v。)，2uvo}={ av。，b金菠萝v。，0}+ u{a,b,2 v。}
表示过点{ a v。，b 无纺布储物箱vlncrna引物设计。,。}以{a,b,2 v。}为方向向量的直线;
v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {au。，bu。，。} +v{a,-b,2 u。} 挤出机螺杆表示过点(au。, b u。，。)以{a,-b,2 u。}为方向向量的直线。
3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。
saa. n
解 r ={ -a sin 二 cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos「,0}
x - a cos、： cos「 y - a cos 二 sin「 z - a sin 二
任意点的切平面方程为 - a sin 二 cos ：：「： -a sinsin「 a cos=0
「隧道式搪瓷烧结炉a cos、： sin「 a cos、： cos「 0
即 xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；
x a cos、： cos「 y a cos、： sin「 z a sin 二
。
cos 二 cos「 cossin「 sin 二
2 2
4.求椭圆柱面 令 斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b
曲面只有一个切平面 。
2 2
解椭圆柱面二＞yr =1的参数方程为x = cos：： , y = asin二，z = t a b
r d - { -a sin 二，b cos ,0}
0 =0，即 x bcos ： + y asin ： — a b = 0
此方程与t无关，对于二的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 二的每一数值 对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
3
5.证明曲面r =｛u,v,—｝的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
UV
数。
§ 2曲面的第一基本形式
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议