邓其军;刘姜涛;陈诚;蒋燕;周洪
【摘 要】The high frequency current is un-uniform in the wire due to external magnetic field. As a result, the conductive area of the wire is far smaller than its cross-section,and the excess resistance,namely the frequency-dependent resistance,is induced. The high frequency resistance is proportional to the square of the magnetic field the wire exposed to. The paper employees the Biot-Savart law to analyze the magnetic field distribution of the planar rectangular solenoid coils for evaluating the frequency-dependent resistance. The maximum quality factor of the coil and the corresponding optimal operation frequency are derivate based on the analyses of the field and resistance. A few coils are manufactured and their high frequency resistances are measured. The measurements show that the proposed method predicts the resistance under various frequencies and the optimal operation frequency precisely. Two coils,whose outer and inner dimensions are 460 mmí208 mm and 312 mmí64 mm,are employed to build a wireless power transfer system.
Under the frequency slightly lower than the predicted optimal one,the system obtains the maximum DC-DC efficiency of 58. 7% and receives 50 watts power at the distance of 500 mm.%在外部磁场的影响下，导线中的高频电流呈不均匀分布，致使其导电面积远小于横截面积，从而引起额外的电阻，称之为高频电阻。高频电阻中的感生电阻与磁场的平方呈正比。应用毕奥-萨伐定律对Litz线平面矩形螺旋线圈中的磁场进行分析，以计算线圈中的高频电阻，进而分析其最大品质因数及最优运行频率。对几个线圈原型的测量表明，该分析方法较好地预测了线圈在不同频率下的电阻及最优运行频率。使用两个外边长460 mm×208 mm、内边长312 mm×64 mm的矩形线圈所制作的无线能量传输系统，距离500 mm时，在稍低于预测的最优频率时获得的最大DC-DC效率为58.7%，接收端功率为50 W。 【期刊名称】《电工技术学报》
【年(卷),期】2016(031)011
【总页数】10页(P176-185)
【关键词】邻近效应;高频电阻;毕奥-萨伐定律;Litz线;无线电能传输
放血槽【作 者】邓其军;刘姜涛;陈诚;蒋燕;周洪
【作者单位】武汉大学自动化系 武汉 430072;湖北第二师范学院物理与机电工程学院 武汉 430205;武汉大学自动化系 武汉 430072;武汉大学自动化系 武汉 430072;武汉大学自动化系 武汉 430072
【正文语种】中 文
【中图分类】煤炭水分TM724
声音定位在无线电能传输等高频应用领域，电感线圈常使用Litz线来绕制以降低趋肤效应[1-4]。对于无线电能传输系统而言，更高的品质因数，意味着更高的效率[5-7]。线圈的品质因数与运行频率呈正比，与电阻呈反比。但过高的运行频率会加剧导线中的紊流并引起高频电阻的上升，反而会降低线圈的品质因数。为此，需要对线圈电阻与频率的关系进行分析，以寻求最大品质因数下最优的运行频率。
趋肤效应和邻近效应是引起线圈高频电阻的主要原因。前者表现为高频电流只在导线的表面通过，而导线中心的电流密度很小；后者表现为导线内的电流受外部磁场的影响而呈不
均匀分布。相应的电阻称为导通电阻和感生电阻。对于单根的圆导体，通常使用贝塞尔函数来表达其高频条件下的电流密度，进而计算高频电阻[1-3]。导通电阻与导线的直径和频率有关，本文只引用现有结论进行计算；而感生电阻除与导线的直径和频率有关外，还与所处的磁场强度的平方呈正比[1-4，8-14]。因此，感生电阻的计算转换为对导线所处位置磁场强度的计算。
平面矩形螺旋线圈占用空间较小，易于制造，且具有比相同最大尺寸的圆螺旋线圈(矩形线圈的最大边长等于圆螺旋线圈的最大直径)更大的电感。因此，本文以平面矩形螺旋线圈为例来计算高频电阻。
对于平面圆螺旋线圈的电磁场，文献[2]使用麦克斯韦方程组计算。该方法比较复杂，且只对圆线圈有效，无法应用于矩形线圈。文献[3]使用有限元仿真的方法计算电磁场，但只考虑了Litz线上下两个表面的电磁场，精度不够高。上述两种方法都认为同一圈圆形线匝沿导线轴线方向的磁场是不变的，因此每圈只需计算一次。但由于矩形线圈的不对称性，沿导线轴向方向不同位置的磁场各不相同，使用有限元方法计算的工作量巨大。文献[14]使用迭代方法计算外部磁场以计算高频电阻，但其只考虑了Litz线束内部内绝缘导线间的邻近效应，而忽略了线匝间邻近效应。
本文提出使用毕奥-萨伐定律对Litz线平面矩形螺旋线圈的磁场进行分析，进而计算其感生电阻。一个3圈的平面矩形螺旋线圈的尺寸定义如图1a所示。在忽略边缘效应的条件下，可简化为图1b所示。后续分析均基于图1b。
高频电阻可表示为[1-3]
导通电阻Rcond为[1-3]
Litz线圈中单位长度的单股圆截面细线的感生电阻为[1]
在理想情况下，一定长度的细铜线经过了Litz线横截面的所有位置，故可认为每股线的磁场强度、电流和消耗的功率都相同[1]。其中，式(6)中的平方磁场强度可用横截面处按面积平均的平方磁场来代替。
Litz线中的每股细铜导线，沿其轴向位置各处的磁场并不相同。因此，需要沿轴向长度对式(6)求定积分的方法计算每股导线的感生电阻。同时考虑到n0股线的电阻是单根线的1/n0，从而整根Litz线的感生电阻为
对于半径为rb的Litz线，轴向位置为y处的横截面上各点的磁场强度并不相等。但根据前述的每股外绝缘细铜线经过了Litz横截面的所有位置的假设，可计算其按面积平均的平方磁场强度为
Litz线内某点的平方磁场为[1]
理论上，组成Litz线的每股外绝缘细导线的电流相同。但实际中，当细导线的股数较多时，每股线的电流逐渐变得不相同，并导致比1.2节所述的更大的紊流及感生电阻。参考文献[15，16]，认为这是因为接头处的趋肤效应导致在接头表面的细铜线电流密度比接头内部的大，但仍可认为感生电阻与磁场强度呈正比。
另外，线圈附近的材料，特别是线圈的支撑托盘的制作材料，也对其感生电阻有很大影响。支撑托盘使用相对磁导率较大的材料制作，比使用磁导率小的材料制作时，线圈具有更大的高频电阻。
上述因素对感生电阻的影响可以用一个感生电阻的电流不均匀系数kindu来表示。从而式(8)可修改为
对于不同股数及环境的Litz线，可以通过实验的方法来测定该系数。
在分析第j圈(1 ≤ j≤ Nt)的边AB处的磁场时，将图1b转换成图2(每圈的电流方向都相同)，并作如下假设：
1)每圈都分成4条边，即两个宽度的边(AB、CD)和两个高度的边(DA、BC)来分别考虑。
2)AB边垂直于轴向，有横截面积，电流均匀分布于该横截面，需要分别计算其横截面上各点的磁场。
3)第j圈的其余3条边及其他圈所有的边是没有横截面积的，所有的电流都集中于中心线，即视为所谓的“细丝电流”。
过j圈上部轴向位置y处作一横截面，其左视图如图3所示，其中Hi(AB)_j(y,r,φ)是第i圈的边AB在单位幅值电流条件下对第j圈在y处的横截面上的点P(r，φ)产生的磁场。
将第i圈的边AB视为长直导线，当AB中流过单位幅值的正弦电流时，在P点产生的磁场强度(如图4所示，A/m)可用毕奥-萨伐定律计算，如式(12)所示。
将Hi(AB)_j(l1,r,φ)分解到x、y、z三个方向，得到
智能控制模块集成式(12)～式(14)得到节能蒸汽炉
特别地，当i=j时，第j圈内部流过AB的电流在其自身引起的磁场及3个分量可表示为[2，3]
同理，可得到第i圈的另外3条边BC、CD、DA流过单位幅值电流时在P点产生的磁场强度在3个方向的分量分别为式(17)～式(19)。
据此，可计算所有的边在P点产生的磁场分解到3个方向的分量分别为
将式(20)代入式(10)，即可得到P点的平方磁场。
对于无线电能传输系统而言，线圈的品质因数定义为
玩具车漂移
式(5)和式(7)中所有Kelvin函数的高次项均可忽略不计，从而得到
集成式(1)、式(2)、式(8)和式(24)，可将式(21)简化为
将式(25)代入式(22)并求解，可得最优角频率及最大品质因数分别为
为验证上述高频电阻计算方法，制造了4种矩形平面螺旋线圈，并对其高频电阻进行测量。4种线圈的参数如表1所示。线圈Ⅰ和Ⅳ所使用的Litz线为1类圆线(Round Type 1)；Ⅱ和Ⅲ为2类圆线(Round Type 2)，绕制结构为5×5×42[17]。其中线圈Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ布置在透明胶带上面，没有使用托盘支撑；线圈Ⅲ使用5 mm厚度的拼接木板作为托盘，并使用2 mm边长的正方形截面细木条制作走线槽以保证圈与圈之间的间距均匀。线圈Ⅲ如图5所示。
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