第24卷第2期2021年3月
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
Vol.24,No.2
Mar.,2021
doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.02.005
应用Cauchy-Schwarz不等式证明积分不等式举例黄毅玲
吴克坚，刘烁，徐清华，王瑞星，赵清波
(空军军医大学基础医学院数学物理教研室，陕西西安710032)
摘要本文主要以近年大学生数学竞赛的两道典型题目为例，说明Cauchy-Schwarz不等式在证明积分不等式中的应用.这些题目的不同解法既体现了普遍适用性也体现了技巧的针对性，对教师的教学和学生的学习提供帮助. 关键词Cauchy-Schwarz不等式；积分不等式；数学竞赛
中图分类号O13；O178文献标识码A文章编号1008-1399(2021)02-0013-03
Using Cauchy-Schwarz Inequality to Prove Integral Inequalities
WU Kejian,LIU Shuo,XU Qinghua,WANG Ruixing,and ZHAO Qingbo (Department of Mathematics&Physics,School of Basic Medicine,Air Force Medical University,Xi'an710032China)
Abs4rac4Thispaper main6y ana6yzes two c6assica6app ications of using Cauchy-Schwarzinequaityto prove some integral inequalities appeared in the Mathematics Competitions in recent years,and shows the un?versaltyofthecorrespond?ngmethodsandtherelevanceofsometechn?ques.Wehopetoprov?deuseful helpforteach?ngandlearn?ng.
Keywords Cauchy-Schwarz?nequalty?ntegral?nequalty mathemat?cscompet?t?ons
Cauchy-Schwarz不等式是一个在众多数学背景下都有应用的不等式，例如向量代数、数学分析、概率论等领域.具体地，在积分学中，设函数fCx),A (x)在区间*，小上连续，则有不等式 f(x)A(x)drr)—f2(x)drr•g2(x)drr,
a'J a J a
其中等号成立的充要条件是：存在实数沧或A，使f(x)=kg(x)或g(x)=A f(x)成立.在实数域中，设任意实数+,*28(=12,…,n)，则有不等式
—(*+2)•(**2),
3=13=13=1
当且仅当a=+=…=尹取等号.特别地，二维*1*2*n
形式为(ac+*d)2—(+*2)(?+92)，当且仅当
收稿日期：2020-07-22修改日期：2020-10-19
基金项目：空军军医大学基础医学院《人才建设行动计划》公共教研室骨干人才.
作者简介：吴克坚0983—)，男，博士，副教授，研究方向：生物统计及临床试验统计方法Email：wukejianl983@163.
通讯作者：赵清波(1966—)，女，硕士，教授，卫生统计学方向,Email：zhaoqbo@fmmu.edu.ad=
*c时取等号.作为数学中最重要的不等式之一，不同形式的Cauchy-Schwarz不等式的证明方法成为许多学者研究的热点，比如利用二次三项式的判别式、构造辅助函数法等*1+.
近年来，在各类数学竞赛中Cauchy-Schwarz不等式应用于证明积分不等式的题型比较常见且难度较大，学生往往感觉无从下手.本文从全国大学生数学竞赛网站*〕历届初赛真题及各省、市竞赛中选取了两道典型题目，对其证明方法的思想背景和特点进行了简要的分析说明，并进行了适当的拓展，一些巧妙的解法来源于文献[34]，体现了证法的普适性和技巧的针对性，目的是帮助学生举一反三，拓展解题思路，切实掌握这类证明题目的证法和技巧.
例1(2017年全国大学生数学竞赛华中科技大学校内选拔赛)
设f(x)在*1+上有连续导数，且f(0)= f(1)=0，证明： f f2(x)dz—1[[f'(x)+2d x
Jo4J o
证法1
由
$4高等数学研究2021年3月
f(x%=x f1(t%I t+f(0%=x f1(t%I t
00
fd x f1(t)d t+f)f'Odz,
再由不等式右边的#。:f(x))2dx联想到
Cauchy-Schwarz不等式，于是有
f2(x)=((1(i)di)—j12di•j[1()+2dz
—x j[f z(x)]2drr,
账户管理(提示/(x)
所以
1$)dz)—
[12di•j[1$)+2dz x'J x J x
f2(x)drr=P f2(x)drr+[f2(x)drr
o Jo J1
§j5x j[1(x)]2drr j drr
+j15(1—x)j[1(x)]2d.z jd.z
|[1(x)+2d”j2x drr+j i(1—x)drr =1j。[1(x)了d x
证法2由于
f(x)—Jj12dz・j。[1()+2dz
x・j[1(t+2dz,
f(x)—j12dz・
j x[1(t+2dz
=槡(1—x)-j[f/()+2dz,
又由均值不等式A+B02./AB(CD均非负)，有
2
°[f'()+2dj+2后一个更为一般的问题*+：
设f(x)在*!+上连续可导f(a)=0，证明：
j f2(x)dz—(—+)j[1(x)+d x
=jf'd)—j1d)
j：
—(x—a)I*[1(x)+2d x两边积分即得证•
J a
r22压焓图(2)结论中出现1(x)提示我们使用Newton-Leibniz公式f(x)=j f ddt+f(0)及f'()dt+f(1).用类似的技巧可以证明以下问题：
(2017年浙江省高等数学竞赛，工科类)
设f(x)在*!+上连续可导，&(0)=0，证明：f(x)—[1(x)+2d x
(提示:f(x)=j f'Od t则
f(x)
f(x)—j o11()dz—Jj[1(x)+2d x) (2017年浙江省高等数学竞赛，数学类%
设f(x)在[0,+上连续可导，证明：
max f(x)—min f(x)—[1(x)]2drr.
(提示：令f(x2)=max f(x),fO=min f(x),
则f(x2)—f(x1)=j f(t)dt—j11(i)di
J x]J x]
—#f'()dt—
()利用例1的结论可证明如下问题：
(2017年同济大学高等数学竞赛)
设f(x)在*!+上有连续的二阶导数,f(0)
f(1)=O f(x)60(x2(0!))，证明：
(提示：j f(x)
f(x)
晾衣叉d x04!
2打。[K x l+d x
故[f2(x)drr—1f[1(x)+2d x
Jo4J o
注(1)与此题的证法类似，可证明条件弱化[1(x)了d x代入后即证.)
第24卷 第2期 吴克坚!刘 烁!徐清华，王瑞星!赵清波：应用Cauchy-Schwarz 不等式证明积分不等式举例 15
例2 (2018年第十届全国大学生数学竞赛初赛，非数学类)
设f (x )在区间［0,1］上连续，1 — f (x ) — 3,
证明：
1 — f f (x )drr • [ J 、
dz —
J 0 J 0 J\x)
4
3证明 根据Cauchy-Schwarz 不等式，有
11
(x )d x •
00
1
f (x )
d x
另一方面，由于1 — f (x ) — 3，注意到
drr 0 0 ,
0!
有
(提示:"fjdxdy — # f (x )dz ・ # -J —^dx
(3)证明#&Odx •# f^dx — *过程中，由1 — f (x ) — 3 ，得到［f (x )—叮［f (x ) — 1 ］ 0 0 是
关键.类似的题目还有：(2014年大连市第二十三届
高等数学竞赛试题(A))
设f(x )在区间［0,1］上连续，且1 —f(x )—2, 证明：#f(x )dz ・ # J^dx —鲁.
(4)用例2的证法可证明一个更一般的结论3 :
设f(x )在区间［0,1］上连续，且f(x )>0,M ,
G 分别为f (x )在［0,1］上的最大值和最小值，证明:
1 — [ f(x)dx ・[
00
]d V (m + F )2
f(x') — 4mM
此外，实数域中Cauchy-Schwarz 的二维形式在又由均值不等式及P f (x )dz 0 0, [ ^^dx 0 0,
J 0
J 0 j \x)
证明积分不等式的过程中也能派上用场，实现对积
分的估计.如：(2018年第九届全国大学生数学竞赛
有
1
3
1 (x )d x +0
10
1
f (x )
d x
决赛，非数学专业)
0 2
槡
Tf .
整理上面的不等式即可得到结论.
注 (1)证明［f (x )dz ・［
(、dz 01时，关
J 0
J 0 J \x)
键是利用Cauchy-Schwarz 将积分的乘积转化成一 个积分.也可将积分乘积转换为二重积分的累次积 分，即
2 f f (x )dz ・『 J 、
dz
0 0 (x )
—# f (x )d 兀 # T^^d^y + # f (y )d# # J^d^J 0 J 0 j (y) J 0 J 0 j \x)
设函数&(,)在区域D = {(x,y )丨x 2+y 2 —+2} 上具有一阶连续偏导数，且满足f(xy ) |x 2+(2=+2 —
+2 以及 max [ ) + )
] = +2 ，其中 +〉0.
x,y )2D L\d x/ \dy 丿」
明:
"f(x,y)dxdy — 3
D
4%+42
槡、
J E-2
0"
0—x —
(2) —定条件下，积分的乘积与二重积分的累
次积分相互转换的技巧结合Cauchy-Schwarz 不等 式可以证明如下问题：
(2017年天津市大学数学竞赛，理工类)
设f(x )为［+,］上取正值的连续函数,D ：+ —
D
(提示：利用格林公式"$Q D
0,Q —_d P
$y xf (x ,y )
及 P
%P d x +
Q d y 分别取P
yf (x !y )!Q — 0 ! 得
"f(x ^y)dxdy
D
=2% % —y d ^ + x d ；y —
"(x $&+ y $J )x d y.
D
对于上式右端的二重积分，根据
+・c + *・d — 槡+ +
・ 槡B + d 2 ,
有
D
d x d y
(下转第54页)
x
54高等数学研究2021年3月
二元函数可微分、各偏导数都存在(偏可导)、连续相关概念之间的关系如图3所示.
图3二元函数偏导数等多个概念的关系示意图
正是由于偏导数只是相对一个因变量的变化量，所以多元函数的偏导数与连续这两个概念之间的关系不同于一元函数.因为二元函数的偏导数是分别当变量分别沿着两个坐标轴变化时的函数变化率，而连续性是针对于整个坐标平面上的任意路径趋于所考虑的点，所以不能根据偏导数存在就说二元函数是连续的.即二元函数在一点偏导数存在但函数在该点可能不连续.具体反例如例7所示.
例7二元函数
2?2，(z,y)6(0,0), y=f(z,y)=3z十(
高钛渣50,(z,y)=(0,0),
在点0(0,0)偏导数存在，但在该点不连续.
水晶版画
注意到，由一元函数连续但不可导的例2所类比的例5可知类似地结论：二元函数z=f(x,y)=槡z2+y2在0(0,0)处连续，但在该点处偏导数不存在.
除此之外，二元函数可微分必偏导数存在；可微分必连续；但是偏导数存在不一定能推出二元函数的可微性(见反例7)，相应地需要偏导数连续可以得到二元函数的可微性.2结论
总结图2-图3中的诸多二元函数的概念及其关系，由二元函数类比于一元函数的反例构造法，可推广得到三元、四元等多元函数.可知：对于多元函数多个概念间成立的关系总结如图4所示，反之不成立.
图4多元函数多个概念之间的关系示意图在多元函数多个概念的学习过程中适时、准确地运用反例可使同学们更准确和深刻地理解这些概念之间的关系「3+.本文类比于一元函数微分学的反例，来构造多元函数微分学的反例，并给出了用类比法构造出的反例及其具体过程.笔者的教学实践表明该构造反例的教学法能提高学生学习多元函数概念的兴趣、增进学生对其基本理论的理解，进而提高学生的学习效率，改善教学效果.
参考文献
*1+慕运动，张德洋.以一元函数到多元函数为例论证从量变到质变的变化过程［J+.高等数学研究,2020,23
(02)：59-62+79.
*+同济大学数学系.高等数学：上册［M l7版.北京：高等教2019：657
*+侯云畅.高等数学学习与考研指导：下册［M+.北京：国防工业出版社，2009：12-13.
(上接第15页)
从上面所举的竞赛题目可以看出，证明积分不等式的题型多样，难度很大,Cauchy-Schwarz不等式是一个有力的工具•练习过程中需要善于思考总结归纳，才能够有效解决这些不等式的证明问题•当然，除了Cauchy-Schwarz不等式，拉格朗日中值定理、泰勒公式等都是证明积分不等式的有效方法，需要结合题目的条件和结论进行分析解决・
参考文献
*1+Thomas Wigren.The Cauchy-Schwarz inequality:Proofs and applications in various spaces[D].Sweden：Karlstad University ,2015.
[2+全国大学生数学竞赛网站[N/OL].www.
cmathc/
*+徐利治.大学数学解题法诠释[M+.安徽教育出版社，1999:125-138.
*4+陈国先.Schwarz不等式在积分不等式证明中的应用[J+.
西华师范大学学报(自然科学版)，1983,(01)：88-94
.
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