(总分54, 做题时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.
A 当m＞n时，必有｜AB｜≠0
B 当m＞n时，必有｜AB｜＝0
C 当n＞m时，必有｜AB｜≠0
D 当n＞m时，必有｜AB｜＝0
2.
设A为m×n阶矩阵，且r(A)＝m＜n，则( )．
A A的任意m个列向量都线性无关
B A的任意m阶子式都不等于零
C 非齐次线性方程组Ax＝b一定有无穷多个解
D
矩阵A通过初等行变换一定可以化为(E m [*1134]O)
3.
设矩阵A＝(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )经行初等变换为矩阵B＝(β 1 ，β 2 ，β 3 ，β 4 )，且α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 宽带接入服务器4 线性相关，则( )．
A
β 4 不能由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示
B
β 4 能由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示，但表示法不唯一
C
β 4 能由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示，且表示法唯一
D
β 4 能否由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示不能确定
4.
设A，B是满足AB＝O的任意两个非零阵，则必有( )．
A A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
B A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关
C A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
D A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关
5.
自动泊车功能设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．
A 当m＞n时，线性齐次方程组ABX＝0有非零解
B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX＝0只有零解
C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX＝0有非零解
D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX＝0只有零解
6.
与矩阵A＝相似的矩阵为( )．
A
B
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C
D
2. 填空题
1.
设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜＝－4，则｜E－AB T ｜＝______．
2.
设A＝ ，B为三阶矩阵，r(B * )＝1且AB＝O，则t＝______．
3.
设A＝ ，｜A｜＞0且A * 的特征值为－1，－2，2，则a 11 ＋a 22 ＋a 33 ＝______．
4.
设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．
3. 解答题
1.
设A是正交矩阵，且｜A｜＜0．证明：｜E＋A｜＝0．
2.
设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ 1 ＝1，λ 2 ＝2为A的两个特征值，｜B｜＝2，求
3.
设α是n维单位列向量，A＝E－αα T ．证明：r(A)＜n．
4.
设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB＝O．证明：r(A)＋r(B)≤n．
5.
设α 1 ，α 2 ，…，α n 为n个n维向量，证明：α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关的充分必要条件是任一n维 向量总可由α 1 ，α 2 ，…，α n 线性表示．
6. 视频处理
设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B＝且AB＝O，求方程组AX＝0的通解．
7.
问a，b，c取何值时，(I)，(Ⅱ)为同解方程组?
8.
设A为n阶矩阵，A 11 ≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件 是A * b＝0．
9.
设．问a，b，c为何值时，矩阵方程AX＝B有解?有解时求出全部解．
10.
设A＝ 有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A 2010 ．
11.
设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A * ) 2 －4E的特征值为0，5，32． 求A －1 的特征值并判断A －1 是否可对角化．
12.
(1)若A可逆且A～B，证明：A * ～B * ； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．
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13.
设A，B为n阶矩阵，且r(A)＋r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．
14.
设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：A T A的特征值全大于零．
15.
设二次型f＝2x 1 2 ＋2x 2 2 ＋ax 3 3 ＋2x 1 x 2 ＋2b 1 x 3 ＋2x 2 x 3车载电视机 经过正交变换X＝QY化为标准 形F＝y 1 2 ＋y 2 2 ＋4y 3 2 ，求参数a，b及正交矩阵Q．
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