线性空间是二维、三维几何空间及n 维向量空间的推广。线性空间中的元素统称为向 量，但此时的向量除了可以是n 维向量以外，还可以是矩阵、多项式、函数、数等，这体现了这个概念的一般性。另一方面，线性空间要规定两种运算：加法与数乘，但这一概念是抽象的。 4．1 线性空间
线性空间是线性代数的基本概念，它是通过对不同的数学对象的共同本质（线性的）
进行的抽象。所谓线性空间，就是定义了两种运算（加法与数乘）的非空集合，该集合在这两种运算下保持封闭性。
1． 定义：设V 是一个非空集合，P 为一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种
代数运算叫做加法，即任取γβαγβα=+∈∈使有唯一,,,V V ，在数域P 与
集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即任取αV ∈，有唯一
的.,ηαη=∈k V 使得如果加法与数乘满足下面的规则：
（1）αββα+=+；
（2）)()(γβαγβα++=++；
（3）在V 中有一个元素0，对V 中任意元素α，有α+0=α；
（4）对V 中任意元素α，都有V 中元素β，使得=+βα0；
（5）1α=α；
（6）αα)()(kl l k =；
（7）αααl k l k +=+)(；
（8）αββαk k k +=+)(；
则称V 为数域P 上线性空间。
在线性空间里，V 中的元素称为向量，0元素称为零向量，当 =+βα0时，β为α
的负向量。
2．线性空间的性质；
非隔离电源模块
（1） 零元素是唯一的；
（2） 任意向量α的负向量是唯一的，记为-α；
（3） 0α=0，（-1）α=-α，k0=0;
（4） 若k α=0，则k=0或α=0。
3． 线性子空间
如果线性空间V 的非空子集W ，关于V 所定义的两种运算也构成一个线性空间，则称W 维V 的一个线性子空间。 若W 是V 的非空子集，W 中的元素关于V 的两种运算自然满足八条运算规则，于是判断W 是是否构成V 的线性子空间，只要验证W 关于V 的两种运算是否封闭，即“任取
→∈∈+P k W ,βαW k W ∈∈+αβα,” 是否成立。
常见的n R 的线性子空间有：
（1）以实矩阵A=n m ij a ⨯)(为系数矩阵的齐次线性方程组的全体解所组成解空间
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000|2121 n n x x x A x x x W
（2）对应于n 阶实矩阵A 的实特征值λ的全体实特征向量与零向量所组成的子空间，称为特征子空间
}0{|)(212121 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x x x x x x A x x x A V λλ。 （3）由线性空间V 的任意确定的S 个向量的一切线性组合所构成的线性子空间，称为由这S 个向量生成的子空间。这S 个向量称为子空间的生成系，记作：
},,,,,,,|{),,,(2121221121R a a a V a a a L n n n n n ∈∈+++= ααααααααα 在线性空间V 中引进了内积之后，就构成了欧氏空间。在欧氏空间里，我们才能考察向量的长度、向量的夹角等性质。
4．维数、基底与坐标：
若n ααα,,,21 是线性空间V 中的n 个线性无关的向量，且V 中任意的一个向量都可以由它门线性表出，
则称n ααα,,,21 是线性空间的一个基，此时称V 的维数是n ，记为dimV=n.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量都可以作为线性空间的一个基。设向量ξ可由基向量组表示出：
ξ=n n x x x ααα+++ 2211，
则 n x x x ,,,21 称为向量ξ的坐标，记为),,,(21'n x x x .向量ξ除了用基向量组的线性组合来表示外，还可以用矩阵的形式来表示：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
ruu
⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121),,,(αααξ 由向量组n ααα,,,21 生成的子空间),,,(21n L ααα 的维数等于向量组n ααα,,,21 的
芯模
秩。
5．基变换与坐标变换
由于线性空间V 的基不是唯一的，于是要考虑两个基之间的关系。
设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是V 的两个基，因为n βββ,,,21 可由n ααα,,,21 线性表出：+=11αβk k a n nk k a a αα++ 22，=1，2,…n
因而有：
（n βββ,,,21 ）=（n ααα,,,21 ）T
T 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵。
如果向量ξ在这两个基 下的坐标分别为),,,(21'n x x x 和),,,(21'n y y y ，即
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121),,,(αααξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y 2121),,,(βββ， 则有坐标变换
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21=T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n y y y 21
4．2 欧氏空间的基本概念
用轿车当棺材下葬
定义（欧氏空间）设V 是一个线性空间，如果对V 中任意两个向量βα,，都规定了唯一的一个实数与之相对应，这个记为),(βα，并且满足（其中γβα,，是V 中任意向量，k 是R 中任意数）
（1） 对称性：),(βα=),(αβ。
（2） 关于第1变元的线性性：
),(),(),(γβγαγβα+=+
),(),(βαβαk k =
（3） 正定性：00),(,0),(=⇔=≥ααααα且
快干毛巾则称实数),(βα为βα，的内积，称定义了内积的实线性空间为实内积空间，或欧几里得空间（简称欧氏空间）。
定理（柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式）对于欧氏空间V 中任意两个向量βα,，
成立：
),()|),(|βββα≤
其中，等号成立的充分必要条件是βα，线性相关。
定义（长度（范数））对于欧氏空间V 的向量α，定义α的度（范数）为：
),(ααα=
向量的长度满足下列基本性质（也称下列性质为长度公理，其中βα，为V 中得任意向量，k 为任意实数）
（1） 非负性：00,0=⇔=≥ααα且；
频率补偿（2） 绝对齐性：αα||k k =；
（3） 三角不等式：βαβα+≤+
定义（夹角）规定欧氏空间V 中两个非零向量βα，的夹角ϕ为：
πϕβαβαϕ≤≤=0,)
,(arccos
若0),(=βα，则称向量βα，正交或垂直，记为：βα⊥
定义（距离）设V 是欧氏空间，βα，是V 中任意两个向量，称
||),(βαβαρ-=
为βα，的距离。
距离有下述基本性质（其中γβα,，是V 中任意向量）
(1) 非负性：βαβαρβαρ=
⇔=≥0),(,0),(且;
(2) 对称性：),(βαρ= ),(αβρ；
(3) 三角不等式：),(βαρ=),(),(βγργαρ+。
4．3 欧氏空间的标准正交基
定义（标准正交基）在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为V 的正交基；由n 个向量组成的标准正交组称为V 的标准正交基（或规范正交基）。
定理 设n e e e ,,,21 是欧氏空间V 中的一个标准正交基，V 中向量βα，在该基下的坐标列向量分别为
x=T n x x x ),,,(21 ,y=T n y y y ),,,(21
即
α =∑=n i i i e x 1β
=∑=n
i i i e y 1，则有： （1）∑====n i i i
i i i e e n i e x 1),(,,,2,1),,(ααα即 ；
（2）n n y x y x y x +++= 2211),(βα；
（3）α=22221n x x x +++ ；
（4）),(βαρ=2222211)()()(n n y x y x y x -++-+- 。
4．4 重点与难点
线性空间与之相应的矩阵理论是线性代数的中心内容，是现代数学的重要基础，深入理解线性空间，不仅有助于对前面学习的矩阵和线性方程组的理论的理解，也是进一步学习和应用近代数学所必需的。
1． 线性空间的基本概念
关于线性空间的基本概念必须注意以下几点：
（1） 线性空间的加法和数乘运算表达出向量之间的基本关系，但必须注意线性
空间是一个十分广泛的研究对象，随着所考虑的对象的不同，这两种运算
的定义也一般不同，例如：
n F ：由数域F 上的n 维向量（n 元有序数组）的全体按照通常的向量线性运
算构成的线性空间。
m n F ⨯ ：由元素取自数域F 的n m ⨯矩阵的全体按照通常的线性运算所构成的
线性空间。
n x F ][ ：由系数取自数域F 的且次数不超过n 的一元多项式全体按照多项式
的加法及数与多项式的乘法所构成的线性空间。
][x F ：由系数取自数域F 的一元多项式全体按照多项式 的加法及数与多项
式的乘法所构成的线性空间。
C[a,b]：由闭区间[a,b]上的一元连续函数的全体按照通常的函数相加及实数与
函数的乘法所构成的线性空间。
（2） 对同一个非空集合，可以定义不同的线性运算，注意这时所构成的线性空
间是不同的。
（3） 判定一个非空集合V 关于给定的加法及数乘运算是否构成线性空间，如果
利用定义来判别，则首先要验证V 关于给定的加法及数乘运算是否封闭（即
F k V ∈∈∀,,βα是否都有V k V ∈∈+αβα,）其次要逐一验证关于线
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议