6.1本章要点详解
本章要点
■线性空间的定义与性质
■维数、基与坐标
■基变换与坐标变换
扬长机
■线性变换
■线性变换的矩阵表示式
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一、线性空间的定义与性质
1．两种运算
（1）加法运算
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．（2）数乘运算 在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．
2．线性空间定义
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和
乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：
（1）α＋β＝β＋α；
（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；
（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；
（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；
（5）1α＝α；
（6）λ（μα）＝（λμ）α；
（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；
（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，
3．线性空间的性质
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（1）零向量是唯一的；
（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；
（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；
（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．
文具盒生产过程4．子空间
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（1）定义
设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．
（2）定理
线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．
二、维数、基与坐标
1．维数与基
在线性空间V中，如果存在n个向量，满足：
（1）线性无关；
（2）V中任一向量α总可由线性表示，
则就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数．
注：维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n．
2．坐标
设是线性空间V n的一个基．对于任一向量α∈V n，总有且仅有一组有序数
，使
这组有序数就称为向量α在这个基中的坐标，并记作
3．同构
设V与U是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，则线性空间V与U同构．
三、基变换与坐标变换
1．基变换定义
设α1，…，αn及β1，…，βn是线性空间V n中的两个基，有
（6-1）
把α1，…，αn这n个有序向量记作（α1，…，αn），记n阶矩阵P＝（p ij），利用向量和矩阵的形式，式（6-1）可表示为
（6-2）式（6-2）称为基变换公式，矩阵P称为由基α1，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵．又β1，β2，…，βn线性无关，故过渡矩阵P可逆．
2．坐标变换公式
设V n中的向量α在基α1，…，αn中的坐标为（x1，x2，…，x n）T，在基β1，β2，…，βn 中的坐标为
．若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式
四、线性变换
1．定义
设V n，U m分别是n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m的映射，若映射T满足：
（1）任给α1、α2∈V n（从而α1＋α2∈V n），有T（α1＋α2）＝T（α1）＋T（α2）；
（2）任给α∈V n，λ∈R（从而λα∈V n），有T（λα）＝λT（α）．
则T称为从V n到U m的线性映射，又称线性变换．
2．线性变换基本性质
（1）T0＝0，T（－α）＝－Tα；
（2）若则
；
（3）若α1，α2，…，αm线性相关，则Tα1，Tα2，…，Tαm亦线性相关，反之不成立；
（4）线性变换T的像集T（V n）是一个线性空间，称为线性变换T的像空间；
mjpg（5）使Tα＝0的α的全体N T＝{α|α∈V n，Tα＝0}也是一个线性空间，且N T称为线性变换T的核．
五、线性变换的矩阵表示式
1．定义
设T是线性空间V n中的线性变换，在V n中取定一个基α1，α2，…，αn，如果这个基在变换T下的像为
记，上式可表示为
其中
宿主化
则A就称为线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵．
2．定理
设线性空间V n中取定两个基α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵为P，V n中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则B＝P－1AP．
6.2配套考研真题解析
本章为非重点，暂未编选考研真题，若有最新真题会及时更新．
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