第30卷第8期 岩 土 力 学 V ol.30 No.8 2009年8月 Rock and Soil Mechanics Aug. 2009
收稿日期：2008-03-20
第一作者简介：孙晓立，男，1975年生，博士后，主要从事基础工程方面的研究工作。Email:**********************
文章编号：1000－7598 (2009) 08－2392－05
通讯继电器孙晓立1, 2，杨 敏2，莫海鸿1
（1.华南理工大学 土木工程系，广州 5106401；2.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092）
摘 要：根据荷载传递理论，提出了一个计算抗拔单桩位移的十分有效的迭代算法及预测抗拔桩变形的简化分析方法。根据等效墩原理，将抗拔桩基础简化为单一的墩基础，从而可以将单桩变形研究成果应用于桩变形分析中。通过与现场试验结果进行比较表明，该方法不但可以大大节省抗拔桩变形的计算时间，而且计算结果与实测结果也较为相符。 关 键 词：桩；等效墩；变形 中图分类号：TU 473 文献标识码：A
Evaluation of deformation of tension pile group using equivalent pier method
SUN Xiao-li 1, 2，YANG Ming 2，MO Hai-hong 1
（1. Department of Civil Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China;
2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
Abstract: A highly effective iterative procedure is developed to examine the load-displacement behaviour of a single tension pile by load transfer theory. Moreover an approximation method that can for predicting deformations of tension pile groups is given. The method assumes pile groups as an equivalent pier so that the analysis method of single pile can be used for pile groups. Compared with field experiment, the equivalent pier method not only can save a large amount of computing time but also give reasonable results.
Key words: pile group; equivalent pier; deformation
1 引 言
随着我国城市建设的迅猛发展，地下空间的开发正向大规模和大深度方向发展。由于沿海发达城市地下水位较高，地下结构常常要承受巨大的浮力。例如，上海世博变电站工程地下结构需要承受的浮力达4 220 000 kN （标准值），该工程采用了866根抗拔桩来抵抗如此巨大的浮力。由于许多地下工程都位于中心城区，对环境的保护要求比较严格，因此，抗拔桩设计不仅要考虑抗拔桩的极限承载力，还要严格控制抗拔桩的变形。
然而现阶段国内外还没有成熟的理论方法预测抗拔桩的变形。国内学者关于抗拔桩的研究主要集中在抗拔单桩的弹性变形。黄锋等[1]利用剪切位移原理，假定桩侧的土为弹性体，在Randolph 抗压桩变形微分方程的基础上，通过改变微分方程的边界条件得到抗拔桩的变形。该方法可以方便地得到
单桩弹性变形，但难以考虑土的非线性对抗拔桩变
形的影响。为了简化桩变形分析，本文将采用等效墩法估算抗拔桩的变形，该方法首先利用荷载传递法来预测抗拔单桩的变形，然后将桩等效为单一的墩基础，通过修正双曲线函数参数来考虑桩效应对桩变形的影响。在此基础上，利用变形协调法估算等效墩的非线性变形。通过与抗拔桩现场试验结果进行对比，等效墩法可以较好地预测桩的变形，理论预测结果和实测结果比较接近。
2 抗拔单桩变形计算
2.1 抗拔桩的微分平衡方程
荷载传递法是用既定的荷载传递函数来分析桩的承载机制。其基本概念是：将桩离散成为一系列桩段（弹性单元），每一桩段与土体之间的联系用非线性弹簧来模拟。这些非线性弹簧的应力-应变关系，即为荷载传递函数（如图1所示）。利用已知
第8期 孙晓立等：利用等效墩法估算抗拔桩基础的变形
的桩侧土的荷载传递函数，由桩单元平衡方程可得
d ()d P
U z z
τ=- （1） 桩身轴力和位移关系为
p p
d d w P z E A =- （2） 式中：P 为桩身轴力；U 为桩截面周长；p E 为桩的弹性模量；p A 为桩的截面积；()z τ为桩侧摩阻力；
w 为桩身位移。
将式（2）代入式（1），可得抗拔桩的微分平衡方程为
2p p 2d ()0d w
E A U z z
τ-= （3）
式（3）的求解取决于荷载传递函数()z τ的具体形式。当荷载传递函数简单，可以得到抗拔桩的位移解析解；当荷载传递函数比较复杂，通常采用位移协调法预测抗拔桩的变形。 2.2 双曲线荷载传递函数
荷载传递法预测抗拔桩变形的关键在于选择能实际反映桩-土共同作用机制的荷载传递函数。由于双曲线荷载传递函数在工程中的应用最为广泛，因此，本文采用双曲线荷载传递函数预测抗拔桩的变形。双曲线函数的基本公式如下：
()
()
z w z a bw z τ=
+ （4）
m 00ln 1z z
r r r a K G ⎛⎫ ⎪⎝⎭== （5） max
1
b τ=
（6）
式中：z K 为桩侧土的正切刚度；0r 为桩的半径；z G 为桩侧土的剪切模量；max τ为极限侧阻力；a 、b 均
为双曲线系数；m r 为桩的影响半径。 2.3 利用修正变形协调法计算抗拔桩的变形 变形协调法常用于竖向受荷单桩的非线性分析。它通常是假定桩底有一微小位移，根据桩-土界面的t -z 曲线，通过迭代
的方法得到桩顶单元的荷载和位移。该方法用于抗拔桩需要作一些修正。常规的变形协调法都先假定桩底有一个位移值，对于较长的抗拔桩而言，当荷载较小时桩的变形只发生在桩身的一定深度，而没有传递到桩底。因此，本文假定桩顶有一较小的位移，使用二分法调整桩顶位移，根据桩身的轴向变形和桩侧变形的协调关系，逐段
向下推出各单元的轴力和桩侧阻力，直到桩侧的总剪切阻力等于假定桩顶荷载为止。此外，常规荷载传递法常忽视桩的弹性变形对桩侧剪应力的影响，修正变形协调法将考虑桩的弹性变形对桩侧剪应力的影响，具体步骤详见参考文献[2]。
3 抗拔桩变形计算
3.1 抗拔桩等效墩法
等效墩法是一种简便的桩变形分析方法。该方法常用于桩的沉降分析中。在我国桩基规范中，等效墩法是将桩基础简化为一个实体基础，采用分层总和法计算桩的沉降。不同于竖向受荷桩，抗拔桩的桩底土对桩的变形影响很小，因此，不能用分层总和法分析桩的抗拔位移。对于抗拔桩，桩的桩侧摩阻力对桩的变形影响很大。因此，本文可以只考虑桩侧摩阻力对桩变形的影响。等效墩法将抗拔桩假定为一个等效墩，根据Randolph 的建议，等效墩的直径可用下式表示[3]：
eq D = （7）
式中：g A 为桩的外边界所占面积。
等效墩实际上是桩和土的复合体，因此，等效墩的弹性模量要小于桩的弹性模量。根据复合地基原理，等效墩的弹性模量可以用下式表示：
eq p s (1)E mE m E =+- （8）
式中：p E 为桩的弹性模量；s E 为土的弹性模量；m 为置换率，p g /m A A =；p A 为桩中桩的面积的总和。
3.2 等效墩法预测抗拔桩的弹性变形
单桩的抗拔弹性变形已有成熟的研究成果。根据文献[1]的分析方法，抗拔单桩的弹性变形可由式（9）表示：
t t 20s
cth()
πP ul W r u G λ=
（9）
式中：l 为桩长；s G 为土的剪切模量；u =
，p s /E G λ=，ξ=m ln(/)r r 。
等效墩法是将桩基础等效为一个单独的墩基础。由式（7）和式（8）计算墩的等效直径和等效弹性模量，再利用式（9）计算桩的弹性变形。由文献[4]可知，使用修正变分法可以较好地预测抗拔桩的弹性变形。为了验证等效墩法预测抗拔桩弹性变形的效果，本节将两个方法的理论预测结果进行了对比。
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为了便于比较，本文对上拔荷载假定为1 MN ，桩的长径比为25，分别对3×3和9×9桩进行计算桩的变形。桩-土相对刚度比p s /E E 分别取为 10 000、1 000和300。从图1和图2可以看出，当桩的刚度比大于1 000时，等效墩法预测桩变形值和变分法的预测结果还是相当接近的。等效墩的预测结果
略小于变分法的预测结果，这可能是因为等效墩法没有考虑桩间相互作用对桩变形的影响。当桩的刚度较小时，等效墩法预测的弹性变形与变分法结果相差较大。如图1所示，当桩的刚度比为300时，等效墩法和变分法的预测结果相差较大，并且随桩的距径比的增大而显著增大。一般来说，抗拔桩由于要考虑桩体抗裂，刚度都比较大，因此，采用等效墩法预测抗拔桩的弹性变形是适合的。等效墩的分析结果还受桩数的影响。
图1 3×3桩等效墩法和变分法结果对比
Fig.1 Comparison of the 3×3 tension pile group results of
equivalent pier method and variational approach
图2 9×9桩等效墩法和变分法结果对比
Fig.2 Comparison of the 9×9 tension pile group results of
equivalent pier method and variational approach
由图1、2还可以看出：当桩的数量很大时，等效墩的预测效果较好。相对于3×3抗拔桩基础，
9×9桩的等效墩解和变分法解是比较接近的。通过本节的理论分析可知，随着桩的距径比的增大，等效墩法和变分法预测值的差别逐渐增大，这说明
人脸识别数据标注等效墩法适用于估算距径比小于6时抗拔桩基础的变形。
3.3 修正双曲线函数参数屋面天窗
本节将研究利用等效墩法预测抗拔桩的非线性变形。首先利用式（7）和式（8）将抗拔桩等效为单一等效墩，然后采用变形协调法预测等效墩的变形。等效墩和墩侧土的相互作用采用双曲线函数来模拟，具体可见式（4）。由式（4）可以看出：要得到合理的双曲线函数，关键在于准确地预测2个双曲线系数a 和b 。a 的物理意义是等效墩的柔度。由图1可以看出，等效墩的刚度要大于实际上桩的刚度，即等效墩的柔度要小于实际桩的柔度。笔者通过深入研究，提出以下的经验公式对等效墩的柔度进行修正：
m
eq eq
ln 1Z Z
r r r a K G ⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭==
（10）
eq n
D a a d ⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
（11）
式中：eq r 为等效墩半径；a 为未修正的双曲线系数；a '为修正后的双曲线系数；n 为经验系数，可取为0.1。
双曲线荷载函数参数b 实际上为等效墩极限侧摩阻力的倒数。因此，要确定参数b ，关键在于确定等效墩的墩侧极限摩阻力。当试桩荷载-位移曲线已知时，通过反分析可得到单桩的桩侧极限摩阻力，同时假定等效墩的墩侧极限摩阻力等于单桩的极限摩阻力。当双曲线参数a 和b 已知后，就可以通过变形协调法预测等效墩的非线性变形。
4 算例分析
McCabe [5]通过现场桩载荷试验给出了淤泥质黏土中抗压桩和抗拔桩的承载力实测结果。
试验场地土层分布情况为：自上而下土层为含砂的填土，厚度为1 m ，下面为0.5 m 的砂质淤泥土，其下土层为1.7～9 m 稍微超固结的软质淤泥质黏土，该土层为试验场地的主要土层。地下水为季节性变化，地下水位于地表面下1.0～1.5 m 。
试验桩由5根桩组成，桩为预制混凝土方桩，每个桩都包含4根直径为16 mm 高强钢筋，混凝土甲基铝氧烷
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第8期 孙晓立等：利用等效墩法估算抗拔桩基础的变形
抗压强度为50 MPa 。桩长为6 m ，边长为250 mm ，中心桩与角桩中点的间距为（2.80.1±）倍的桩边长。在本文中取中心桩与角桩间距离为700 mm 。桩的桩位布置见图3。采用落高为0.45 m 的5 t 液压打击锤将桩打入土中。实际工程中除了上层填土外，其他土层可以只靠锤本身的重量就可以将桩压入到预定的土层。
由于桩的混凝土抗压强度为50 MPa ，桩的弹性模量可取为50 GPa 。文献[5]将试验场地土层假定为单一土层，并通过PIGLET 程序反分析得土的剪切模量为3.5 MPa 。承台边长为1.8 m ，厚度为10 mm 的钢板。为了简化分析，本例题中将承台看作是完全刚性的。
x501图3 桩桩位分布图
Fig.3 Arrangement of the group piles
等效墩和墩侧土的相互作用采用双曲线函数来模拟，双曲线函数系数a 、a '可以用式（10）、（11）确定。通过分析参数，a 为77.5210-⨯3m /N 。本文假定等效墩墩侧极限摩阻力等于单桩桩侧极限摩阻力，因此，需要知道单桩的桩侧极限摩阻力，可以用修正变形协调法预测单桩理论荷载-位移曲线，并使该曲线尽量逼近单桩的实测荷载-位移曲线。反分析结果如图4所示。通过反分析，可以得到单桩的双曲线参数56.6510b -=⨯2m /N ，该值即为等效墩的参数b 。当双曲线函数的参数a 和b 确定后，可以利用修正变形协调法预测等效墩的非线性变形。 McCabe [5]通过传感器对中心桩和角桩的荷载和变形进行监测，监测结果表明，上拔荷载作用时中心桩和角桩的反力相差较小。图5给出了中心桩和角桩的实测荷载-位移曲线。文献[5]没有给出上拔荷载作用下筏板的变形结果。为了方便比较，将桩上拔总荷载Q 除以桩数得到各桩受到的平均上拔荷载q ，将总荷载Q 对应的筏板理论位移和图5中荷载q 对应的桩筏基础中心桩与角桩实测位移值进行了比较。
由图5可以看出，等效墩法预测的非线性荷载
位移曲线和实测荷载位移曲线较为接近。预测结果能够满足实际工程的需要。等效墩法是一个简化分析方法，得到的是桩的平均变形，因此理论值和中心桩与角桩的实测值有一定的差别，而非完全吻合。同时，根据3.2节介绍的理论预测等效墩的弹性变形。由图5可以看出，当荷载小于极限荷载的一半时，弹性理论变形结果和实测结果相当接近；随着荷载的进一步加大，弹性理论结果和实测结果的差别将逐渐增大。
图4 单桩荷载-变形理论曲线和实测曲线比较 Fig.4 Comparison between the single pile’s theoretical
Q -S curve and the measured one
图5 理论荷载位移曲线和实测荷载位移曲线的比较 Fig.5 Comparison between the pile group’s theoretical
Q-S curves and the measured ones
5 结 论
（1）使用修正变形协调法分析单桩在上拔荷载下的变形，并给出了详细的分析方法。使用修正变形协调法分析单桩的抗拔变形，可以很方便地考虑桩-土界面的非线性，因此，有较大的应用范围。 （2）将单桩抗拔变形分析成果推广到桩分析中。笔者使用等效墩法分析桩的弹性抗拔变形，并将它与修正变分理论解进行比较。结果表明，当
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桩的距径比较小且桩的刚度较大时，等效墩法可以合理地预测抗拔桩基础的弹性变形。
（3）利用等效墩法分析桩的非线性变形，使用修正后的双曲线函数模拟等效墩和墩侧土的相互作用。通过与现场抗拔桩实验结果进行对比，该方法可以得到较好的预测结果。
（4）等效墩法将桩简化为单一的墩基础，使得对抗拔桩的弹性和非线性变形分析变得相当简单。通过与现场桩载荷试验结果进行比较，该方法能够得到较好的预测结果。尤其对于大规模的桩筏基础，该方法可以极大地减少分析时间，特别适合大规模桩筏基础抗拔变形的初步设计中。
参考文献
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土木工程学报, 1999, 32(1): 31－36.
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变形[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(6): 1270－1277.
SUN Xiao-li, YANG Min. Analysis of nonlinear deformation of tension piles by modified method of def
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[3]RANDOLPH M F. Design method for pile group and pile
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loaded pile groups driven in clayey silt[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2006, 132(3): 401－410.
（2009年9月16～19日成都）
主办单位：西南交通大学；早稻田大学
支持单位：中国土木工程学会及其隧道及地下工程分会；中国岩石力学与工程学会及其隧道掘进机工程应用分会；中国公路学会隧道工程分会；日本土木学会隧道工学委员会
承办单位：西南交通大学热敏电阻测温电路
会议背景：
中日盾构隧道技术交流会由我国西南交通大学、同济大学、北京交通大学与日本早稻田大学等单位从事盾构隧道的学者与技术工作者共同发起，并得到了中日两国相关学会支持，旨在加强中国和日本的盾构隧道技术交流，促进该领域的学术与技术进步。至今已分别在北京（2003年9月15～18日）、上海（2004年6月5～7日）、东京（2005年8月29～31日）、广州（2007年9月19～22日）成功召开4届。历届交流会中日代表进行了广泛而深入的学术交流，为推动两国的盾构隧道学术研究与工程技术的共同进步起到了积极的促进和推动作用，交流会已经成为中日两国从事盾构隧道的研究者现技术工作者的盛会。本次交流会将以大型越江海与城市地铁盾构隧道的建设等为主题开展，将就中日两国在盾构隧道领域的最新技术展开展学术交流活动。
会议主题：
（1）大型越江海盾构隧道的最新进展；（2）城市地铁盾构隧道的最新进展；（3）盾构隧道设计；（4）盾构隧道施工；（5）盾构隧道建设对环境的影响与控制；（6）盾构隧道防灾（地震、火灾…）；（7）现场监控量测；（8）耐久性问题；（9）防水技术与材料；（10）特殊地质条件下盾构设备选型；（11）与盾构隧道相关的研究与重大工程实录。
会议地点：西南交通大学
会议语言：中文、日文、英文
会议网站：civil.swjtu.edu
会务：
联系人：郭德平（136****7107）、耿萍（135****8484）
电话：************传真：************E-mail:********************************
地址：610031 中国四川成都二环路北一段111号西南交通大学土木工程学院地下工程系“第5届中日盾构隧道技术交流会”秘书组
（“第5届中日盾构隧道技术交流会”组委会）
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