轨道计算是⼀种粗略测定天体轨道的⽅法。在轨道计算中﹐⼈们事先不必对天体轨道作任何初始估计﹐⽽是从若⼲观测资料出发﹐根据⼒学和⼏何条件定出天体的初始轨道﹐以便及时跟踪天体﹐或作为轨道改进的初值。为了计算六个轨道要素(见⼆体问题)﹐⾄少必须有三次光学观测﹐因为每次观测只能得到天体坐标的两个分量。 轨道计算是使⽤⼀组技术来估计诸如卫星，⾏星和航天器的物体的轨道。 确定新观察到的⼩⾏星的轨道是这些技术的常见⽤法，因此，⼩⾏星可以跟踪未来的观察，并且还在没有被发现前验证它。[1]
中⽂名
轨道计算
外⽂名
Orbit determination
意 义
车载厨房
测定天体轨道对 象
卫星、⾏星、航天器
涉及技术
⼒学、⼏何条件
起始应⽤
彗星研究
进⼀步介绍
观测是将原始数据馈⼊轨道确定算法。由地⾯观察员进⾏的观测通常由时间标记的⽅位⾓，⾼程，范围和或范围速率值组成。使⽤望远镜或雷达装置，因为裸眼观察不⾜以进⾏精确的轨道确定。
在确定轨道之后，可以使⽤数学传播技术来预测轨道物体的未来位置。随着时间的推移，轨道物体的实际路径往往偏离预测路径(特别是如果物体遭受诸如⼤⽓阻⼒等难以预测的扰动)，并且使⽤新观测值的新的轨道确定⽤于重新 - 校准轨道知识。
对于美国及其伙伴国家，在光学和雷达资源允许的范围内，联合空间业务中⼼收集对地球轨道上所有 物体的观测。观察结果⽤于维持卫星⽬录的整体准确性的新的轨道确定计算。碰撞避免计算可以使⽤该数据来计算⼀个轨道物体将与另⼀个轨道物体碰撞的概率。如果当前轨道的碰撞风险是不可接受的，则卫星运营⼈可以决定调整轨道。 (每次遇到极低概率情况时都不可能调整轨道；这样做会导致卫星快速耗尽推进剂。)当观测数量或质量提⾼时，轨道确定的准确性过程也有所改善，更少的“假警报”引起了卫星运营商的关注。包括俄罗斯和中国在内的其他国家也有类似的跟踪设备。[2]
轨道计算轨道计算⽅法发展的历史
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轨道计算是从研究彗星的运动开始的。在⽜顿以前﹐对天体运动的研究基本上带有⼏何描述的性质。第⾕⾸先试图计算彗星轨道﹐但未获成功。困难在于只能观测彗星的⽅向﹐⽽不知道它同地球的距离﹐由于缺少⼒学规律的指引﹐⽆法根据这些定向资料求得天体的空间轨道。在⽜顿运动定律和万有引⼒定律发现螬o开普勒定律有了⼒学解释﹐得到了椭圆运动的严格数学表达式﹐终于能利⽤少数⼏次时间相隔不长的观测来测定彗星的轨道。[3]
轨道计算拉普拉斯⽅法
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拉普拉斯⽅法 第⼀个正式的轨道计算⽅法是⽜顿提出的。他根据三次观测的资料﹐⽤图解法求出天体的轨道。哈雷⽤这个⽅法分析了1337～1698年间出现的24颗彗星﹐发现1531年﹑1607年和1682年出现的彗星是同⼀颗彗星﹐它就是有名的哈雷彗星。在这以后﹐欧拉﹑朗伯和拉格朗⽇等⼈也在轨道计算⽅⾯做了不少研究。拉普拉斯于1780年发表第⼀个完整的轨道计算的分析⽅法。这个⽅法不限制观测的次数﹐⾸先根据⼏次观测﹐定出某⼀时刻天体在天球上的视位置(例如⾚经﹑⾚纬)及其⼀次﹑⼆次导数﹐然后从这六个量严格⽽⼜简单地求出此时天体的空间坐标和速度﹐从⽽定出圆锥曲线轨道的六个要素。这样﹐拉普拉斯就将轨道计算转化为⼀个微分⽅程的初值测定问题来处理。从分析观点来看这是⼀个好⽅法﹐然⽽轨道计算是⼀个实际问题﹐要考虑结果的精确和计算的⽅便。拉普拉斯⽅法在实⽤上不甚⽅便。由于数值微分会放⼤误差﹐这就需要⽤⼗分精确的观测资料才能求出合理的导数。尽管许多⼈曾取得⼀定进展﹐但终究由于计算繁复﹐在解决实际问题时还是很少使⽤。
轨道计算奥伯斯⽅法和⾼斯⽅法
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奥伯斯⽅法和⾼斯⽅法 与拉普拉斯不同﹐奥伯斯和⾼斯则认为﹐如果能根据观测资料确定天体在两个不同时刻的空间位置﹐那么对应的轨道也就可以确定了。也就是说﹐奥伯斯和⾼斯把轨道计算转化为⼀个边值测定问题来处理。因此﹐问题的关键是如何根据三次定向观测来定出天体在空间的位置。这既要考虑轨道的⼏何特性﹐⼜要应⽤天体运动的⼒学定律。这些条件中最基本的⼀条是天体必须在通过太阳的平⾯上运动。由于从观测掌握了天体在三个时刻的视⽅向﹐⼀旦确定了轨道平⾯的取向﹐除个别特殊情况外﹐天体在三个时刻的空间位置也就确定了。轨道平⾯的正确取向的条件是所确定的三个空间位置能满⾜天体运动的⼒学定律﹐例如⾯积定律。
彗星轨道⼤都接近抛物线﹐所以在计算轨道时﹐常将它们作为抛物线处理。完整的抛物线轨道计算⽅法是奥伯斯于1797年提出的。他采⽤⽜顿的假设﹐得到了彗星地⼼距的关系式﹔再结合表⽰天体在抛物线轨道上两个时刻的向径和弦关系的欧拉⽅程﹐求出彗星的地⼼距﹔从⽽求出彗星的抛物线轨道。奥伯斯⽅法虽有不少改进﹐但基本原理并没有变﹐仍然是⼀个常⽤的计算抛物线轨道的⽅法。
1801年1⽉1⽇﹐⽪亚齐发现了第⼀号⼩⾏星(⾕神星)﹐不久⾼斯就算出了它的椭圆轨道﹐他的⽅法发表于1809年。⾼斯使⽤逐次近似
法﹐先求出天体向径所围成的扇形⾯积与三⾓形⾯积之⽐﹐然后利⽤⼒学条件求得天体应有的空间位置﹐再从空间位置求得轨道。⾼斯不仅从理论上﹑⽽且从实际上解决了轨道计算问题。可以说﹐⽤三
次观测决定轨道的实际问题是⾼斯⾸先解决的。⾼斯以后﹐虽然有⼈提出⼀些新⽅法﹐但基本原理仍没有变。
轨道计算⼈造卫星轨道计算
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⼈造卫星轨道计算 计算⼩⾏星轨道的经典⽅法﹐原则上都能⽤来计算⼈造卫星的轨道。在考虑到⼈造卫星的运动特点之后﹐⼜提出了⼀些新的⽅法。⼈造卫星运动快﹐周期短﹐记时误差对轨道计算结果影响显著。巴特拉科夫在⾼斯⽅法的基础上﹐⽤增加观测资料的办法﹐对记时有误差的轨道计算法作了改进。近地卫星⼀天绕地球飞⾏⼗多圈﹐容易从观测定准它的周期﹐因⽽也就知道了轨道半长径﹐相应地提出了已知半长径的轨道计算法。⼈造卫星离地球近﹐视差现象明显﹐利⽤两站或多站同步观测容易求得卫星地⼼距﹐可以简化经典计算⽅法。针对卫星摄动影响⼤的情况﹐⼜出现了考虑摄动的轨道计算法。尽管这些⽅法多种多样﹐仍不外乎从观测资料求得两个点的向径﹐或⼀个点的向径和速度﹐从⽽得到轨道要素。
通过对⼈造卫星激光测距和多普勒测速﹐利⽤多站同步观测﹐或结合光学观测等⽅法﹐可以直接得到
卫星的向径和速度﹐从⽽求得卫星的轨道。应⽤⾼速电⼦计算机﹐可以进⾏复杂的迭代运算。因此﹐更多的是综合各种类型的观测资料作轨道改进﹐⽽不把精⼒放在初始轨道的计算上。现代技术条件已能使⼊轨后的卫星轨道同预定轨道相差不⼤。这样﹐预定轨道就能作为初始轨道使⽤。[4]
轨道计算计算机计算星球轨道原理
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以地球绕⽇运⾏为例，为叙述⽅便，以下⽤⽮量形式表达。
因为其中M太为太阳质量，M地为地球质量，G为万有引⼒恒量，a为地球加速度，为单位⽮量。所以我们可按等时间间隔dt(即等步长)，以微分形式从地球的初值点逐点向下推算。设t=0时，地球的初值点为r0,v0和于是，地球经dt时间从初值点到达第⼀点，递推式为,
由于dt是⼈为设定的，是已知的，因此地球到达1点的近似值v,r和a可由上式算出，算出1点值后，可把1点值作为初值，按步长dt继续推算
设要计算地球在t=T时的r值，要求计算误差为e，t=0时的初值r0,a0,v0为已知。我们可将0到T的时间间隔划分为n个dt，即令计算步长
dt=T/n，然后根据上述，按步长dt从t=0时的初值点推算到t=n·dt=T时的r值。然后将dt⼆分，即令计算步长dt1=dt/2，再按此新步长值dt1从t=0时的初值点算到t=2·n·dt1=T时的r值为r2，⽐较⼀下⼆分前后的r值，即看⼀看是否满⾜条件r2 - r
以上为⽮量表达，实际计算中，可将⽮量v,r，a分别在x,y轴上投影，可得vx,vy,rx,ry,ax,ay。于是，它们的初始值分别为
v0x,v0y,r0x,r0y,a0x,a0y。下⾯给出地球从初值点经dt时间运⾏到下⼀点的递推式，
控制误差范围的条件为分别为⼆分前后在x,y⽅向的r值。
以上仅为计算机计算地球轨道的原理。实际上，每⼆分⼀次，从0到T时间范围内的dt数量将增加⼀倍，计算机计算的⼯作量也将增加⼀倍。由于计算机的计算速度有限，因此⼆分次数也是有限的。为提⾼计算精度，减少计算机的计算⼯作量，有⼀些标准化的⽅法(注1)，在此不再熬述。
由上述可知，计算机计算星球轨道主要有两个要点。⼀是列出递推式，⼆是确定误差范围的条件。
⽉球轨道计算见下页。
注释1：参见“计算机数值计算⽅法及程序设计”⼀书。该r书由周煦编著。于2004年10⽉由机械⼯业出版社出版。[5]
轨道计算⽉球轨道计算
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由于地球的运动直接影响⽉球的运动，因此，先来分析⼀下地球的受⼒，如图1-3所⽰。
在图1-3中，o2x2y2z2坐标系是动坐标系，原点在地球中⼼。该坐标系跟随地球作平动，且三个坐标轴x2,y2,z2始终分别平⾏于x,y,z三个坐标轴。r1 是地球的位置⽮量，r是⽉球的位置⽮量，r2 是⽉球相对地球的位置⽮量。
F⽉地是⽉球对地球的引⼒，F太地是太阳对地球的引⼒。设r1 与x,y,z轴的夹⾓分别为α1，β1，γ1，r与x,y,z轴的夹⾓分别为
α，β，γ，r2 与x2,y2,z2轴的夹⾓分别为α2，β2，γ2，则，地球在x,y,z⽅向所受合⼒为：
因此，地球在x,y,z⽅向的加速度：
立云购物商城⽉球的受⼒如图1-4所⽰。⽉球在x,y,z⽅向所受合⼒为：
其中，F太⽉为太阳对⽉球的引⼒，F地⽉为地球对⽉球的引⼒。因此，⽉球的加速度为：
设a的初值为的初值为这样，地球和⽉球从各⾃的初值点同时出发，经dt时间后，地球就到达了它的下⼀点于是可得如下递推式：
(见下页)哈特曼光阑
控制计算误差的6个条件为：
其中分别为⼆分前后算出的地球坐标。再次说明⼀下，以上⽉球轨道的计算仅是计算机计算原理，实际编程应采取⼀些标准化⽅法，以提⾼计算精度，减少计算机的计算⼯作量。
在⽉球轨道计算上，我已做到了，⼀天的计算误差e<0.001⽶(即在x,y,z轴⽅向的计算误差e)，也就是说⼀年的计算误差
e<365×0.001=0.365⽶。要核实万有引⼒公式本⾝和实际情况的相差程度，可取两组实际观测值，⼀组观测值作为计算的初值，另⼀组观测值作核实之⽤，即核实⽤万有引⼒公式来计算的星球轨道的准确程度。下⾯采⽤⼀组实际观测值(注2)作为计算初值，让计算机来计算⼀下⽉球的轨道。初值为：
轨道计算计算结果
自来水检漏
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以上计算的时间范围是2006年。⽉球轨道半径最⼤和最⼩值都是指平均值。观测值由紫⾦⼭天⽂台的⼯作⼈员提供。以上计算取计算时间t=366天，坐标计算误差e< 0.366⽶。计算周期时，时间计算误差⼩于0.05秒。由于天⽂台提供的⽉球数据是相对地球坐标系的，地球坐标系和本⽂所述的动坐标系的关系是，将地球坐标系的yz平⾯以x轴为转轴旋转⼀个黄⾚交⾓，就是本⽂所述的动坐标系。本⽂取黄⾚交⾓
注释2：作为计算初值的观测值的对应时刻为，2006年北京时间3⽉15⽇7时47.5分。该时刻恰好为半影⽉⾷的⾷甚时刻。为⽅便计算，本⽂把该时刻定为零时刻。
下⾯给出从2006年3⽉⽉⾷⾷甚时刻计算到9⽉⽉⾷⾷甚时刻的地球和⽉球坐标。数据如下。
抛物面雷达物位计地球坐标(单位：⽶)
轨道计算观点：天体轨道的量⼦公式防辐射屏
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轨道计算假设
⼆⼗世纪初玻尔等提出的空间量⼦化(轨道量⼦化)理论，在物理界引起了⼀场深刻的⾰命，从此⼈们认为在微观和宏观之间有着不可逾越的鸿沟。实际上，如果我们引⼊了时间量⼦化概念，便会发现微观和宏观之间有着深刻的、奇妙的联系。
难以想像在数学形式完全⼀样的引⼒场中运动的物体怎么会有迥异的轨道性质，让我们作个⼀般假设：在引⼒场
V1/r=－P/r (P为和系统有关的常数)
作⽤下，在其中作轨道运动的物体当其轨道满⾜下式时，或者更确切地说当其轨道在下式所规定的附近时，其轨道的稳定性有⼀⼩⽽尖的峰值：
an=n2a0,(n=1,2,3……)， ⑴
Tn=n3T0,(n=1,2,3……)， ⑵
其中a0、T0为和系统有关的常数，an、Tn为第n号轨道的半长径、周期。
当V1/r是由类氢原⼦核产⽣的库仑场时，上式和玻尔的第⼀、⼆假设是相当的，可以互相推出，在此就不必验证了。
当V1/r是由中⼼天体产⽣的⽜顿场时，笔者发现可由下式确定a0、T0：
a0 = k1M 1 ， ⑶
T0 = k2M 2 ， ⑷
其中M 为中⼼天体的质量，常数
c1 =0.7100±0.0010 ，k1 =1.978×10-12
c2 =0.5650±0.0015 ，k2 =2.141×10-12。
轨道计算验证
⒈ 恒星-⾏星系统
由表1可看出式⑴的结果要⽐玻得定则的好，然⽽不如其变种贝拉格和⾥查逊公式，但它们都硬性规定系数，形式繁杂，物理意义不明显，近乎数学游戏。
还有与玻得定则及其变种不同的是，式⑴所取的n值不连续。这是缺憾吗？显然我们该想到彗星和⼩⾏星的轨道，它们也满⾜式⑴成⽴的先提条件。
表2中有多个彗星占据⼀个轨道号的情况，这就是常说的轨道带，——是否对应量⼦⼒学的‘能级简并’？
⒉ ⾏星-卫星系统
表3、4给出了⽊卫系统和天卫系统的验证。
读者可能已经发现，轨道带卫星的偏⼼率明显地⽐单独占有⼀个轨道的卫星的⼤；⽽在太阳系内偏⼼率⼤的天体⼀般也是轨道带天体。多么奇妙的相似！显然有其内在联系。
如果伴星系的确是绕中⼼星系作轨道运动的，那么表5所给出的结果的确令⼈振奋。其中a0值由观测值拟合得到，M值则由式⑶反推得到。
[5]
参考资料
1.
Valsecchi, G. '236 ' in Near Earth Objects, Our Celestial Neighbors: Opportunity and Risk : Proceedings of the 236th Symposium of the International Astronomical Union, Cambridge University Press, 2006, xvii-xviii
2.
J. A. Lexell (1779). "Disquisitio De Tempore Periodico Cometae Anno 1770 Observati". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 69: 68–85. 69...68L. doi:10.1098/rstl.1779.0009.
3.
Gruss, Mike (2014-11-21). "Haney: U.S. Partners To Have Indirect Access to Space Fence Data". Space News. Retrieved 2014-12-01.
4.
Curtis, H.; Orbital Mechanics for Engineering Students, Chapter 5; Elsevier (2005) ISBN 0-7506-6169-0.
5.
Taff, L.; Celestial Mechanics, Chapters 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1.
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