● ⏹ 轻绳、轻杆和轻弹簧，是力学中三个重要的理想模型，在高中物理解题中有着重要的地位，为了帮助学生正确地分析和解决与轻绳、轻杆和轻弹簧有关的问题，笔者对三个模型的相同点和不同点进行了总结，并想通过一定的实例，对学生学习和应用给与启迪思考。 ⏹ 三个模型的相同点 ⏹ 1、“轻”— 不计质量，不受重力。 ⏹ 2、在任何情况下，沿绳、杆和弹簧伸缩方向的张力、弹力处处相等。 ⏹ 三个模型的不同点 ● 形变特点 ⏹ 轻绳程控电压衰减器 — 可以任意弯曲，但不能伸长，即伸长形变不计。 ⏹ 轻杆 — 不能任意弯曲，不能伸长和缩短，即伸缩形变不计。 ⏹ 轻弹簧 — 可以伸长，也可以缩短，且伸缩形变不能忽略不计。 ● 施力和受力特点 ⏹ 轻绳 — 只能产生和承受沿绳方向的拉力。 ⏹ 轻杆 — 不仅能产生和承受沿杆方向的拉力和压力，还能产生和承受不沿杆方向的拉力和压力。 ⏹ 轻弹簧 电梯运行检测平台— 可以产生和承受沿弹簧伸缩方向的拉力和压力。 ● 力的变化特点 ⏹ 轻绳 — 张力的产生、变化、或消失不需要时间，具有突变性和瞬时性。 ⏹ 轻杆 — 拉力和压力的产生、变化或消失不需要时间，具有突变性和瞬时性。 ⏹ 轻弹簧 — 弹力的产生、变化或消失需要时间，即只能渐变，不具有瞬时性，且在形变保持瞬间，弹力保持不变。（注意 ：当弹簧的自由端无重物时，形变消失不需要时间） ● 连接体的运动特点 ⏹ 轻绳 — 轻绳平动时，两端的连接体沿绳方向的速度（或速度分量）总是相等，且等于省上各点的平动速度；轻绳转动并拉直时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。 ⏹ 轻杆 — 轻杆平动时，连接体具有相同的平动的速度；轻杆转动时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。 ⏹ 轻弹簧 — 在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速率不一定相等；在弹簧形变最大，即弹性势能最大时，两端连接体的速率相等；在弹簧转动时，连接体的转动半径随弹力变化，速度方向不一定垂直于弹力。 ● 作功和能量转化特点 ⏹ 轻绳 — 在连接体作匀速率和变速率圆周运动的过程中，绳的拉力都不作功；在绳突然拉直的瞬间，有机械能转化为绳的内能，即机械能不守恒。 ⏹ 轻杆 — 在连接体作匀速率和变速率圆周运动的过程中，轻杆的法向力对物体不作功，而切向力既可以对物体作正功，也可以对物体作负功，但系统机械能守恒。 ⏹ 轻弹簧 — 弹力对物体作功，系统机械能守恒；弹力作正功，弹性势能减少，物体动能增加；弹力作负功，弹性势能增加，物体动能减少。 ⏹ 例析 ⏹ 如图1所示，质量为m的小球，静止悬挂在空中，且指纹保管箱 OB水平，OA与竖直方向成θ角，试分析，在下列条件下，当绳OB刚断开时，OA的拉力是多少？ ◆ （1）、OA为细皮筋； ◆ （2）、OA为细绳。 ⏹ 分析：（1）当OA为细皮筋时，相当于一 ⏹ 根轻弹簧。在OB断开瞬间，拉力为零， ⏹ 重力（mg）为恒力不变，且OA的弹力保持不变，即与OB未断开时的拉力相同。所以，可以视为静力学问题。根据三力平衡条件，OA的弹力为 ◆ F=mg/cosθ ⏹ （2）当OA为细绳时，OB一断开拉力立即为零，OA的拉力也随即改变。这时，小球在拉力和重力的作用下，由静止开始做变速圆周运动（图2）。因为这时速度为零，根据牛顿第二定律，有 ◆ T－mgcosθ=mv2/l=0 ◆ 所以，拉力为 ● T=mgcosθ ⏹ 请想一想：这时OA的拉力与OB断开前的拉力之比是多少？OB断开瞬间，小球的运动加速度是多少？ ⏹ 如图3所示，小车上固定着弯成ß角的轻杆，杆端固定质量为m的小球，小车以加速度a水平向右运动，试分析、讨论杆端对小球的作用力的大小和方向。 ⏹ 分析：首先，应该注意连接小球的是轻杆而不是轻绳，所以对小球的作用力不一定沿杆的方向。 ● 因为拉力（T）与重力（mg）的合力大小等于，根据勾股定理，拉力的大小为 ● T= [(ma)2+( mg)2]1/2=m (a2+g2)1/2 ⏹ 拉力与竖直方向的夹角θ可表示为 ⏹ θ＝tg-1(a/g). ⏹ 可以看出：θ角随加速度a的增大而增大。 ⏹ 当a＝0时：T= mg变速盘 , θ=0---拉力竖直向上； ⏹ 当a＝gtgß 时： ⏹ T= mg（1＋tg2ß）1 /2= mg/cosθ, θ=ß---拉力沿杆方向； ⏹ 注意：这个临界加速度，可以利用逆向思维方法。由θ=ß简捷的得出。 ⏹ 当a»g时， ⏹ T≈ ma，θ≈900――拉力趋于水平方向。 ⏹ 当a«g时， ⏹ T≈ mg，θ≈0――拉力趋于竖直方向。 ⏹ 请读者想一想：如果小球由一段轻绳或者轻弹簧连接，结果如何？ ⏹ 例3：如图4所示，质量相同的A、B两球用细绳相连，然后由轻弹簧竖直悬挂。求将细绳烧断瞬间，A、B的加速度是多少？方向如何？ ●
⏹ 分析：在细绳烧断之前，两球受到的平衡力如图所示。在细绳烧断瞬间间，拉力(T)消失，而弹簧弹力不变，即 ● T＝2 mg ⏹ 根据牛顿第二定律，A、B的加速度分别为 L0 ● aA=(F－mg)/m=g－－方向竖直向上。 ◆ aB=mg/m=g－－方向竖直向下。 ⏹ 请读者想一想：如果将连接A、B球的细绳换成轻杆或者轻弹簧结果如何？ ⏹ 例4：如图5所示，质量为m的小球，由劲度系数为k的轻弹簧悬挂在天花板上。将小球从水平位置无初速释放。小球到达最低点时，弹簧由自然长度 l0增至l。关于小球在最低点的情况，下列哪些说法正确？ ◆ 小球速度为v=(2gl)1/2 ◆ 小球速度为v甲基化分析＜ (2gl)1/2 ◆ 小球受到的拉力为F=k(l0－l) ◆ 小球受到的拉力为F= mg＋v2/l.(v为小球在最低的速度) ●
⏹ 分析：在小球下摆的过程中，弹力做负功，重力做正功；当到达最低点时，小球的重力势能转化为球的动能转化为球的动能和弹簧的弹性势能。根据机械能守恒 ⏹ mgl=1/2mv2+1/2k(l－l0)2 ◆ 则达到最低点的速度为 ⏹ v = ［2gl－k (l－l0)2/m］1/2＜(2gl)1/2 ● 小球在最低点的速度方向不垂直弹簧，即曲率半径不是l。因此，不能根据公式 ● F－mg =mv2/l ● 来计算弹簧的拉力或小球的速度。 ⏹ 所以，应选答案（B）和（C） ◆ 例5：如图6所示，A、B两球由轻杆连接，可绕O点自由转动，在水平位置无初速释放，到转至竖直位置的过程中，下列说法正确的是？ ● 杆对A做负功，A的机械能减少; ● 杆对B做正功，B的机械能增加; ⏹ （C）A、B系统的机械能守恒； ● 杆对A、B不做功，A、B各自的机械能守恒。 ⏹ 分析：为了使问题简化，设两球质量相等，且A位于杆的中点L/2处。 ⏹ 以系统为研究对象，因为系统与外界无任何形式的能量交换;在系统内部又无机械能和内能的转化，即只有重力做功，所以系统机械能守恒。 ⏹ 以每个球的竖直位置为各自的零势能点，根据机械能守恒，有 ◆ 1/2 mgl+mgl=1/2mvA2+1/2mvB2 (1) ⏹ 根据v＝wR∝R,还有 vB=2vA (2) ⏹ 所以，两球在竖直位置的动能分别为 ⏹ EA=1/2mvA2=3/10mgl EB=1/2mvB2=5/6 mgl ⏹ 假设轻杆上只有A球或B球。当各自单独转到竖直位置时，根据机械能守恒，其动能分别为 ⏹ EAO=1/2mvA2＞EAEBO=1/2mvB2＜EB ⏹ 从上面分析，可以得出以下结论： ⏹ 当轻杆上只有一个小球时，每个小球的机械能守恒； ⏹ 当轻杆上有两个小球时，系统的机械能守恒，而每个小球的机械能不守恒; ⏹ 当轻杆上有两个小球时,杆的切向力对距转轴教远的（B）球作正功——B的动能增加；杆的切向力对距转轴教远的（A）球作负功——A的动能减少。 ⏹ 所以，应选答案（A）、（B）和（C）。 ⏹ 请读者定量证明：在第（3）种情况下，轻杆对A、B所做功的代数和为零。（提示： WA=EA-EAO WB=EB-EBO ） ● 最后，顺便指出，这三个模型的区别，不仅表现在动力学问题中，而且也表现在静力学中。如图7所示，两个同样轻质弯杆，左端挂着同样的砝码：在（A）中，杆用细线悬挂在天花板上；在（B）中，杆用光滑铰链与固定在天花板的细杆相连接。为了使曲杆在图示位置平衡，且施力最小，在两种模型中，力的大小和方向都不相同：在（A）中，F应竖直向下；在（B）中，F应垂直BD斜向下，请想一想：这是为什么？ | 
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