电磁感应中的“知三求三”

ʏ重庆市高新区教师进修学院杨天才(

特级教师，正高级教师) 恒力作用下的导体杆做切割磁感线运动，已知条件一般有:①基本属性：导体杆的质量m ，电路中的总电阻R ;②外部环境：匀强磁场的磁感应强度B ;③几何长度：导体杆的有效切割长度L ;④初始条件：导体杆的初速度为零;⑤隐含条件：导轨的电阻忽略不计，且足够长㊂待求的物理量一般有六个:

①恒定外力F ;②导体杆的速度v ;③导体杆的运动时间t ;④导体杆的位移x ;⑤产生的焦耳热Q ;⑥通过导体杆横截面的电荷量q ㊂如果知道这六个物理量中的三个，那么就可以利用方程F t +(-q B L )=m v ,F x +

(-Q )=

12m v 2

,q =

B L x R

求剩下的三个㊂说明:①若导体杆的初速度不为零,

则同理可以知三求三 ;②若导体杆最终达到最

大速度v m a x ,

增加一个方程F =B 2

L 2

v m a x

R ，则可以知二求四 ;③在没有外力作用的情形下，方程F t +(-q B L )=m v 变为q B L =

夯实系数m v ,

则不能求解时间t ，而位移x ㊁焦耳热Q ㊁电荷量q 仍可求㊂

大理石晶面机

例1 如图1所示，在竖直向下的磁感

应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN ㊁P Q 固定在水平面内,

相距为L ㊂一质量为m 的导体棒c d 垂直于轨道MN ㊁P Q 放置,

与轨道接触良好㊂轨道和导体棒的电阻均不计㊂若轨道左端M ㊁P 间接一阻值为R 的电阻，导体棒c d 在拉力F

的作用下由静止开始运动，经过时间t ，导体棒c d 的速度为v ㊂求:

(1)通过导体棒c d 某一横截面的电荷量q ㊂(2)时间t 内导体棒c d 的位移x ㊂

关闭起重装置(3

)时间t 内回路中产生的焦耳热Q ㊂图1

解析:(1)导体棒c d 在拉力F 和安培力

的作用下做变加速直线运动，根据动量定理

得F t +(-F 安t )=m v ，又有F 安t =B I L t =

B L ，解得q =F t -m v

B L

㊂(2)根据q =I t =B L v R t =

B L x

，解得x =(F t -m v )R B 2L

㊂(3)根据动能定理得F x +(-Q )=

12m v 2，解得Q =F R (F t -m v )B 2L

12m v 2

㊂点评：恒力作用下的导体杆切割磁感线

运动模型，涉及的物理量多，已知条件也多，所要用到的物理规律涵盖高中物理的绝大多数，如力和运动的关系(受力分析㊁牛顿运动定律等)，功和能的关系(动能定理㊁能量守恒定律等)，冲量和动量的关系(动量定理㊁力的冲量等)，电路(串并联电路规律㊁闭合电路欧姆定律等)，电磁感应现象(法拉第电磁感应定律㊁楞次定律㊁右手定则㊁左手定则等)，因而成为了高考考查的重点㊁难点和热点㊂本题已知恒定外力F ㊁导体棒c d 的运动时间t 和速度v ，属于知三求三的具体应用㊂例2 如图2所示，相距为L 的两根足

够长平行光滑金属导轨MN ㊁P Q 与水平面

间的夹角为θ，导轨上端N ㊁Q 间接有阻值为

R 的电阻㊂整个装置处于磁感应强度为B

1 知识篇知识结构与拓展高考理化 2022年11月

的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下㊂将质量为m ，阻值也为R 的金属杆c d 垂直放置在导轨上，由静止释放，下滑距离为x

时达到最大速度㊂重力加速度为g ，导轨电阻不计，金属杆c d 与导轨始终接触良好㊂求

图2

(1)金属杆c d 下滑过程中的最大加速度a m a x ㊂(2)金属杆c d 能够达到的最大速度v m a x ㊂

(3)金属杆c d 由静止运动至达到最大速度的过程中，金属杆c d 中产生的焦耳热Q ㊂导游扩音器

(4)金属杆c d 由静止运动至达到最大速

度的过程中，通过金属杆c d 某一横截面的电荷量q ㊂

(5)金属杆c d 由静止运动至达到最大速度的过程所用的时间t ㊂

(6)画出金属杆c d 在下滑过程中的大致v -t 图像㊂

解析:(1)设金属杆c d 下滑到某位置时

的速度为v ，则金属杆c d 切割磁感线产生的

感应电动势E =B L v ,

回路中的感应电流I =E

R +R

，金属杆c d 受到的安培力F 安=B I L ,

根据牛顿第二定律得m g

s i n θ-F 安=m a ，即m g

s i n θ-B 2L 2

=m a ㊂当v =0时，金属杆c d 的加速度最大，最大加速度a m a x =g s i n θ，方向沿导轨所在平面向下㊂

(2)当金属杆c d 的加速度a =0时,

速度最大，最大速度v m a x =2m g R s i n θB 2L 2

，方向沿导轨所在平面向下㊂

(3)根据能量守恒定律得m g

x s i n θ=Q 总+

12m v 2

m a x ,

又有Q =12

Q 总，解得Q =12m g x s i n θ-m 3g 2R 2s i n 2

B 4L

4中渔网

㊂(4)通过金属杆c d 某一横截面的电荷量q =

I t =E 2R t =ΔΦ2R =B L x

㊂(5)根据动量定理得m g

t s i n θ-q B L =m v m a x ,

解得t =2m R B 2L

2+B 2

L 2

2m g R s i n θ㊂(6)由(1)问的分析可知，金属杆c d 在下

滑过程中的大致v -t 图像如图3所示㊂

图3

点评：本题已知恒定外力m g

s i n θ和金属杆c d 沿导轨下滑的位移x ，还已知下滑过程中金属杆c d 最终达到最大速度，属于知二求四的具体应用

㊂

如图4所示，相距为L 的两根平行光滑

mp3复读机金属导轨固定在水平面内，导轨左端接有阻值为R 的电阻，磁感应强度为B 的匀强磁场竖直向下分布在导轨所在空间内，质量为m 的金属棒P Q 垂直于导轨放置㊂现使金属棒P Q 以一定的初速度v 0向右运动，当其到达虚线c 所在位置时停止运动，设导轨与金属棒P Q 的电阻均不计,

求

：图4

(1)通过金属棒P Q 某一横截面的电荷量q ㊂

(2)金属棒P Q 运动的距离x ㊂(3

)电路中产生的焦耳热Q ㊂参考答案:(1)q =

m v 0B L ;(2)x =m R v 0

B 2L 2;(3)Q =

m v 2

0㊂(责任编辑张巧)

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