一．知识导航
二．知识归纳
1、机械能守恒定律
机械能守恒的条件：系统内只有重力（或弹力）做功，其它力不做功（或没有受到其它力作用） ①从做功的角度看，只有重力或弹簧的弹力做功或系统内的弹力做功，机械能守恒。
②从能量的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，没有机械能与其他形式能量之间的转化，机械能守恒。
机械能守恒的方程：
①初始等于最终：
②减少等于增加：
用第二种方法有时更简捷。
对机械能守恒定律的理解：
机械能守恒定律是对一个过程而言的，在做功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和跟
弹性势能相关的弹力做功。在机械能方面只涉及初状态和末状态的动能和势能，而不涉及运动的各个过程的详细情况；因此，用来分析某些过程的状态量十分简便。
机械能中的势能是指重力势能和弹性势能，不包括电势能和分子势能，这一点要注意。
思维误区警示：
对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。
2、能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移互另一个物体，在转化和转移的过程中其总量保持不变。
（2）对能量守恒定律的理解：
①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等。
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（3）能量转化和转移具有方向性
第二类永动机不可制成，它不违反能量守恒定律，只是违背了能量转化和转移的不可逆性。
3、各定理、定律对比
| 适用条件 | 表达式 | 研究对象 | 备注 |
*动量守恒定律 | 系统所受的合外力为零 | P总0=P总t | 一定是两个物体或两个以上物体组成的系统 | 注意动量守恒和机械能守恒的条件的区别 |
机械能守恒定律 | 只有重力或弹簧的弹力做功时 | E1=E2 △EP减=△Ek增 | 一个或多个物体组成的系统 | E为机械能 |
反应烧结碳化硅能量守恒定律 | 均适用 | E总1=E总2 △E减=△E增 | 一个或多个物体组成的系统 | E为总能量；自然界均遵从能量守恒。 |
| | | | |
4、重力做功的特点：
WG=EP1-EP2=mgΔh
重力做功与路径无关
重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加矩阵干扰
注意：ΔEP和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）
5.应用机械能守恒定律解题的思路与方法
(1)选择研究对象——物体或物体系
(2)对研究对象所经历的过程，进行受力分析，做功情况分析，判断机械能是否守恒
(3)选择初、末状态及参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能
(4)根据机械能守恒定律列方程或方程组
(5)求解、检查、作答
一．利用机械能守恒定律求解抛体运动问题
例1、从离水平地面高为H的A点以速度v0斜向上抛出一个质量为m的石块，已知v0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：
(1)石块所能达到的最大高度
(2)石块落地时的速度
变式 如下图所示，小球做平抛运动的初动能为6J，不计一切阻力，它落到斜面P点时的动能为( )
A.10J B.12J C.14J D.8J
二．利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题
例2.如图所示，一个质量为m的物体自高h处自由下落，落在一个劲度系数为k的轻质弹簧上。求：当物体速度达到最大值v时，弹簧对物体做的功为多少?
变式2-1：如图所示的弹性系统中，接触面光滑，O为弹簧自由伸长状态。第一次将物体从O点拉到A点释放，第二次将物体从O点拉到B点释放，物体返回到O点时，下列说法正确的是：（ ）
A、弹力做功一定相同
B、到达O点时动能期一定相同
C、物体在B点的弹性势能大
D、系统的机械能不守恒
变式2-2：如图，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , A 、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升.若将C 换成另一个质量为（m1+ m3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g
三．利用机械能守恒定律解决圆周运动的问题
例3.如图所示，半径为r，质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
变式3-1小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。试求d的取值范围。
变式3-2如图所示，光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m,其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度u通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是 A、当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
B、当时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C、速度至少为，才能使两球在管内做圆周运动
D、只要,小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg
四、利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题
例4.如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长为l的细线相连，置于高为h的光滑水
平桌面上，l>h，A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地后均不再反跳，则C球离开桌边时的速度大小是多少?
变式4-1半径为R的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M的速度和两小球的质量之比.
变式4-2如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A变压器油泵沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.
五、机械能守恒定律在多个过程系统中的应用
例5.如图所示，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：
（1）弹簧对物块的弹力做的功；
（2）物块从B至C克服阻力所做的功；
（3）物块离开C点后落回水平面时动能的
（4）物块落地点距B处的距离
变式5-1一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= ______
变式5-2如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？
环氧环己烷
六、利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题
例6.如图所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？
变式6-1如图所示，均匀的铁链子搭在小定滑轮上，左端占总长的2/5，现将铁链由静止释放，当多少？
变式6-2如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道？
七、用能量守恒解相对运动问题
例7.如图所示，小车的质量为，后端放一质量为的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为，它们一起以速度沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离
变式 如图所示，质量为M，长为L的木板（端点为A、B通脉汤，中点为O）在光滑水平面上以v0的水平速度向右运动，把质量为m、长度可忽略的小木块置于B端（对地初速度为0），它
与木板间的动摩擦因数为μ，问v0在什么范围内才能使小木块停在O、A之间？
接触式位移传感器
八、用能量守恒解决传送带的运动问题
例8.如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v0=10m/s的速度沿逆时针方向转动。在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求（1）物体从A端运动到B端所需的时间是多少？（2）这个过程中系统产生的内能。(sin37°=0.6，cos37°=0.8)
变式 如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行。现把一质量m=10kg的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2。求（1）工件与皮带间的动摩擦因数。（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。
九、用能量守恒解决电磁感应中的能量问题
例9.如图所示，倾角为θ=37°，电阻不计，间距L=0.3m，长度足够的平行导轨所在处，加有磁感应强度B=1T，方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值R=2Ω的电阻。另一横跨在平行导轨间的金属棒质量m=1kg，电阻r=2Ω，其与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.金属棒以平行于导轨向上的初速度v0=10m/s上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端的电量Δq=0.1C（g=10m/s2，sin370=0.6），求上端电阻R上产生的焦耳热热Q.
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