一、选择题
1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( )
A ．s ≥t
B ．s >t
C ．s ≤t
D ．s <t
2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝
11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．无法判断
3．设a 、b ∈(0，＋∞)，且ab －a －b ＝1，则有( )
A ．a ＋b ≥2(2＋1)
B ．a ＋b ≤2＋1
C ．a ＋b ＜2＋1
D ．a ＋b ＞2(2＋1)
4．已知a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
5．(2012·湖北高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则
a ＋
b ＋
电暖画
c x ＋y ＋z 等于( ) A.14 B.13
C.12
D.34 二、填空题
6．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________．
7．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；
③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23，其中正确命题的序号是________．
8．若x ＋y ＋z ＝1，且x ，y ，z ∈R ，则x 2＋y 2＋z 2与13的大小关系为________．
三、解答题
9．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.
10．(2013·深圳调研)已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；
(2)利用(1)的结论求函数y ＝（1－x ）2x ＋x 2
1－x
(0＜x ＜1)的最小值．
11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .
(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .
一、选择题
1．【解析】 ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .
【答案】 A
2．【解析】 ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ， ∴只需比较1＋x 与11－x
的大小， ∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 2
1－x
<0， ∴1＋x <
11－x
. 因此c ＝11－x 最大． 【答案】 C
3．【解析】 ∵ab －a －b ＝1，∴1＋a ＋b ＝ab ≤(a ＋b 2)2.
令a ＋b ＝t (t ＞0)，则1＋t ≤t 24(t ＞0)．
解得t ≥2(2＋1)，则a ＋b ≥2(2＋1)．
【答案】 A
4．【解析】 把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得
a ＋
b ＋
c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c
铝合金切削液配方
＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9.
【答案】 C
5．【解析】 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ， 又a 2＋b 2＋c 2＝10 相加可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10，
所以不妨令⎩⎨⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c (或⎩⎨⎧x －a ＝b ，
y －b ＝c ，z －c ＝a
)， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，
∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12
. 【答案】 C
二、填空题
6．【解析】 ∵a ＞b ＞0，
∴m ＝a －b ＞0，n ＝a －b ＞0.
∵m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b )
＝2b －2ab ＝2b (b －a )＜0，
∴m 2＜n 2，从而m ＜n .
【答案】 m ＜n
7．【解析】 ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；
③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，因此|x ||y |＜23.
∴①②③均正确．
【答案】 ①②③
8．【解析】 ∵(x ＋y ＋z )2＝1，
∴x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝1，
又2(xy ＋yz ＋zx )≤2(x 2＋y 2＋z 2)，
∴3(x 2＋y 2＋z 2)≥1，则x 2＋y 2＋z 2≥13.
【答案】 x 2＋y 2＋z 2≥13
三、解答题
9．【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴2ab ≤a ＋b ＝1.
因此ab≤1
2，
1
ab≥4.
则1
a＋
1
b＋
1
ab＝(a＋b)(
1
a＋
1
b)＋
1
ab
≥2ab·2 1
ab＋4＝8.
故1
a＋
1
b＋
1
ab≥8成立．
10．【解】(1)证明∵a2
b＋
b2
a－(a＋b)＝
a3＋b3－a2b－ab2
ab
＝a2（a－b）－b2（a－b）
ab＝
（a－b）2（a＋b）
ab.
又∵a＞0，b＞0，
∴（a－b）2（a＋b）
ab≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
密封性测试∴a2
b＋
b2
a≥a＋b.
(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，
由(1)的结论，函数y＝（1－x）2
x＋
x2
1－x
≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x即x＝1
2时等号成立．
∴函数y＝（1－x）2
x＋
x2
1－x
(0＜x＜1)的最小值为1.
11．【证明】(1)由于x≥1，y≥1，则
x＋y＋11苯基1丙酮
xy≤
1
x＋
1
y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)
2，
将上式中右式减左式得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
由x≥1，y≥1易知(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
即原不等式成立．
(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数换底公式得
log c a＝1
xy，log b a＝
1
x，log c b＝
1家用电器销售
y，log a c＝xy，
则所证不等式可化为x＋y＋1
xy≤
1
x＋
1
y＋xy，
担架车
由1≤a≤b≤c知x＝log a b≥1，y＝log b c≥1，由(1)知所证不等式成立．
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