摩 擦 角概念和计算
1、“千斤顶”中的学问
【例1】在固定的斜面上放一物体，并对它施加一竖直向下的压力，物体与斜面间的摩擦因数为μ。求斜面倾角θ的最大值，使得当θ≤θm时，无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。 分析：如图，物体受四个力，重力和压力的合力为植物水
G+F，静摩擦力Fs，斜面支持力FN。将G+F分解为F1和F2，根据平衡条件得 FN = F2=（G+F）cosθ Fs= F1=（G+F）sinθ
物体不会滑下的条件是Fs小于最大静摩擦力Fm，而Fm=μFN ，从而有
（G+F）sinθ≤（G+F）cosθ
化简得 θ≤arctanμ
所以只要θ≤arctanμ，无论F有多大，物体也不会滑下。
说明： “千斤顶”螺旋实际可以看作是＜μ的弯曲斜面。
2、推力的极大值（自锁）
【例2】在机械设计中，常用到下面的力学装置，如图只要使连杆AB与滑块m所在平面法线的夹角θ小于某个值，那么无论连杆ABDAPD001对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为‘自锁’现象。则自锁时θ应满足什么条件？设滑块与所在平面间的动摩擦因数为鞋架μ。
分析：将连杆AB对滑块施加的推力F分解，且F远远大于mg，可以忽略。则滑块m 不产生滑动的条件为
Fsinθ＜μFcosθ
化简得自锁的条件为 θ＜arctanμ。
【例3】在田径比赛、摩托车赛、自行车赛等运动项目中，当通过弯道时，运动员必须倾斜与路面保持一定的角度θ才能顺利通过弯道，这就是运动员的弯道技术。路面的弯道半径越小，运动员的速度越快，运动员的倾斜角就越大。设在摩托车比赛中，摩托车与路面间的摩擦因数为μ，试求摩托车所能达到的最大倾角。
分析：运动员要稳定地平动，路面对摩托车的力必须通过整体的重心，所以静摩擦力F1与支持力F2的夹角等于运动员与路面的倾斜角度。而路面对摩托车整体的力F是F1和F2的合力，由图知
F1= F2tanθ=mg tanθ
光端机箱
对摩托车的最大静摩擦力为 Fm=μF2=μmg
则摩托车不倾倒的条件是 F1≤Fm
化简得 θ≤arctanμ
所以摩托车所能达到的最大倾角为θm= arctanμ。
4、拉力的极小值
【例4】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使其匀速运动，怎样施加F才能最小。
分析：设拉力与水平面间的夹角为θ，将拉力F分解，并列出平衡方程，由动摩擦力公式得 Fcosθ=μ（mg-Fsinθ），化简为
（其中令）
当时F有最小值： ， 且θ = arctanμ。
5、破冰船中的道理
【例5】1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船。“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块，同时又将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间，船体由于受到巨大的侧压力而可能解体。为此，船体与竖直方向之间必须有一倾角α。设船体与冰块之间的动摩擦因数为μ。试问使压碎的冰块能被挤压向船底，α角应满足的条件。 分析：冰块受到三个力：冰层对冰块的水平向后的挤压力，船体对冰块的侧压力F，以及沿船体方向的摩擦力（冰块的重力和浮力可以忽略）。将F分解，如图
FN = F1=Fcosα Ff =μFN
能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件为
F2＞Ff ，有
Fsinα＞μ Fcosα
化简得 α＞arctan全息设备μ
6、压延机原理
【例6】压延机由两轮构成，两轮的直径均为d=50mm，轮间的间隙为a=5mm，两轮按反方向转动，如图中箭头所示。已知烧红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为μ=0.1，问能压延的铁板厚度b是多少？
分析：铁板的A、B两点和铸铁轮接触，接触点与转轴连线的夹角为α。在A点铁板受到FN1和Ff1两个力，在B点铁板受到FN2扫地机滚刷和Ff2两个力，如图所示。要使铁板能压延铁板所受合力必须向右，则
α ＜θ=arctanμ
则铁板的最大厚度为
bm= a+2（r-rcos）=7.48mm
所以能压延的铁板厚度 b＜7.48mm
【例7】物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
答案：引进全反力R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中
的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φm指摩擦角。
再将两图重叠成图的右图。由于灰的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φm = 15°。
最后，μ= tgφm=0.268。
【例8】(第三届全国预赛)如图2—1—7所示用力F推一放在水平地面上的木箱，质量为M，木箱与地面间摩擦因数为 问：当力F与竖直成夹角 多大时，力F再大也无法推动木箱?
[思路分析]本题属于物体平衡问题，一般方法是用平衡条件列方程求极值，但这里用摩擦角的概念分析，问题会更加简单．
解:选物体为研究对象，受力如图2-1-8所示，其受四个力作用而静止，将弹力N和摩擦力f合成作出全反力F ．当物体将要发生滑动时，静摩擦角 0。满足tg 0= ，由平衡条件知当0< < 0时，物体出现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动，故 角属于范围(0, 0)。
一个接触面的平衡问题
【例9】一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
解析：本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议