飞机操纵杆2013考研数学二真题及参考答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设，其中，则当时，是（ ）
（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与等价的无穷小
（2）设函数由方程确定，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）设函数，，则（ ）
（A） 是函数的跳跃间断点 （B） 是函数的可去间断点
（C）在处连续但不可导 （D）脱磁器在处可导
（4）设函数，若反常积分收敛，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）设，其中函数可微，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ）
（A） （B） （C）压花模具 （D）
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
主轴编码器（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（8）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) ．
(10) 设函数，则的反函数在处的导数 ．
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为 ． 伯努利方程实验(12)曲线上对应于的点处的法线方程为 ．
(13)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为 ．
（14）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
麦克风架（15）（本题满分10分）
当时，与为等价无穷小，求与的值。
（16）（本题满分10分）
设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。
（17）（本题满分10分）
设平面内区域由直线及围成.计算。
（18）（本题满分10分）
设奇函数在上具有二阶导数，且.证明：
（I）存在，使得；（II）存在，使得。
（19）（本题满分11分）
求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分11分）
设函数，
（I）求的最小值
（II）设数列满足，证明存在，并求此极限.
（21）（本题满分11分）
设曲线的方程为，
（1）求的弧长；
（2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。
（22）（本题满分11分）
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
（23）（本题满分11分）
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
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