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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II 卷
本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟
(适用地区：内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南)
熔断器盒注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个
选项中， 只有一项是符合题目要求的。1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)
B ．(-2，1)
C ．(-3，-1)
D ．(3，+∞)
2．设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于z A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=
彩灯控制电路AB
AC BC AB BC A ．-3 B ．-2 C ．2D ．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，
位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离：
- - - - - - - - 密封线 -
n g e t
s o
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R ，
点到月球的距离为
r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的
2L
延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，点到月球
2L 的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
.
121
223()
()M M M R r R r r R +=++设，由于的值很小，因此在近似计算中，则
r R α=α345
32
333(1)ααααα++≈+r 的近似值为
A B C
D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数 B ．平均数
C ．方差
D ．极差
6．若a >b ，则
A ．ln(a −b )>0
B ．3a <3b
C ．a 3−b 3>0
D ．│a │>│b │
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
2
21
x y +
=A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
9．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是2π
网络聊天系统4π
2π
A ．f (x )=│cos 2x │
B ．f (x )=│sin 2x │
C ．f (x )=cos│x │
D ．f (x )= sin│x │
10．已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
2π面膜仪
A ．
B
1
5C ．
D ．
pc abs合金11．设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以
22
221(0,0)x y a b a b -=>>O 为直径的圆与圆交于P ，Q 两点.若
，则C 的离
OF 222
x y a +=PQ OF =心率为A ．
B C ．2
D ．
12．设函数的定义域为R ，满足，且当
()f x (1) 2 ()f x f x +=时，.若对任意，都有
(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞，则m 的取值范围是
8
()9f x ≥-
A ．
B ．
9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
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C ．
D ．
5
,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个
车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知是奇函数，且当时，
.若，则
()f x 0x <()e
ax
f x =-
(ln 2)8f =__________.
a =15．的内角的对边分别为.若
，则ABC △,,A B C ,,a b c π
6,2,3b a c B ===
的面积为__________.
ABC △16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”
（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。17．（12分）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，
BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.
18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.19．（12分）
烷基叔丁基醚已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，，
1
434
n n n
a a b
+
-
=+
.
1
434
n n n
b b a
+
-
=-
（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；
（2）求{a n}和{b n}的通项公式.
20．（12分）
已知函数
.
()11
ln x f x x x -=-
+（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；
（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是
曲线的切线.
e x y =21．（12分）
已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.
1
2记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂
足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .
（i ）证明：是直角三角形；
PQG △（ii ）求面积的最大值.
PQG △
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