一、单选题
1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy 中（O 为坐标原点），把到定点1(,0)F c −和2(,0)F c 距离之积等于2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知()00,P x y 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题： ①双纽线Γ的方程为()()2
222222x y c x y +=−；
②12F PF △面积最大值为212c ； ③022
c c y −≤≤；
④PO ．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A ．①②塑料静电分离机靠谱吗
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
【答案】D 【分析】由已知212PF PF c ⋅=，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即 可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，即可判断④.
【详解】对于①，由定义212PF PF c ⋅=2c =， 即()()222222400000022x y c cx x y c cx c +++⋅++−=，
整理可得()()2
2222200002x y c x y +=−，
所以双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−，故①正确； 对于②，1212121sin 2F PF S PF PF F PF ∠=221211sin 22
c F PF c ∠=≤，故②正确； 对于③，因为12212001122F PF S F F y c y c =⨯=≤，所以022
c c y −≤≤，故③正确； 对于④，12F PF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 所以2222121242cos PF PF c c F PF ∠+=+.
又因为122PO PF PF =+，所以()()22122PO PF PF =+uu u r uuu r uuu r 221212
2PF PF PF PF =++⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 221212122cos PF PF PF PF F PF =++⋅∠uuu r uuu r uuu r uuu r . 所以，()22122PO F F +22212212121221212c 2cos os PF PF PF PF PF PF PF F PF F P PF F =++⋅∠++−⋅⋅∠()2212
2PF PF =+， 即()22221244242cos PO c c c F PF ∠+=⨯+，
整理可得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，所以||PO ≤，故④正确. 故选：D.
2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 22 221(1)x y a b a b
+=>>中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆22
1259
x y +=中所有 “好弦” 的长度之和为（ ） A ．162
B ．166
C ．312
D ．364
【答案】B
【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦” 的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.
【详解】由已知可得 5,3a b ==， 所以4c =， 即椭圆22
1259
x y +=的右焦点坐标为()4,0，对于过右焦点的弦AB ，则有： 当弦AB 与x 轴重合时，则弦长210AB a ==，
当弦AB 不与x 轴重合时，设()()1122:4,,,,AB x my A x y B x y =+，
联立方程2241259
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2292572810m y my ++−=， 则()()()()2221212227281Δ72492581810010,,925925
m m m m x x x x m m =−+⨯−=+>+=−=−++，
故()
22290116101925925m AB m m +⎛⎫==− ⎪++⎝⎭， ∵20m ≥，则221192525,092525
m m +≥<≤+，可得21616025925m −≤−<+，即29161125925m ≤−<+， ∴18,105AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
， 综上所述：18,105AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
qq客服系统，故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10， 由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ()445678910166⨯++++++=．
故选 ：B ．
3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点()()1122,,,A x y B x y ，定义两点间“距离”为()1212,d A B x x y y =−+−，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“距离”之和等于定值（大于()12,d F F ）的点的轨迹可以是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】分横坐标在1F 、2F 之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可.
【详解】解：根据题意，横坐标在1F 、2F 之外的区域，不能出现与x 轴垂直的线段，
否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值；
横坐标在1F 、2F 之内的区域，则必须与x 轴平行，否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值. 故选：A.
4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ： ()2222
10x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】B
蒸缸【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解
【详解】因为椭圆C 的离心率5
蒸汽吸尘器c e a =
=，所以a =. 因为222a b c =+，所以2b c =，
所以椭圆C 3c =.
因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==.
因为222182MP MQ
MP MQ c +⋅≤=，当MP MQ ==时，等号成立，
所以MPQ 面积的最大值为：
2192MP MQ c ⋅=.
由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，a =，
故椭圆C 的长轴长为
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称
为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22
:154
x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A 【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
丙酮回收【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 22
:154
x y C +=的两条切线2x y =的交点 在圆上，
射频调制器所以3R ==，
故选：A
6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ） A ．2
2
184x y += B ．22
135x y += C ．22162x y += D ．22169
x y += 【答案】A
.
【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b 与半焦距c 相等的椭圆是“对偶椭圆”，
对于A ，22844c b =−==，即b c =，A 是“对偶椭圆”；
对于B ，22532c b =−=≠，即b c ≠，B 不是“对偶椭圆”；
对于C ，22624c b =−=≠，即b c ≠，C 不是“对偶椭圆”；
对于D ，22963c b =−=≠，即b c ≠，D 不是“对偶椭圆”.
故选：A
7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线0(),f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）
A ．210x y +−=
B ．10x =
C ．2210x y x x +−−−=
D ．2310x xy −+=
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