一、解答题
22:10x y E a b a b
+=>>的离心率e 满足2220e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴 于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．
(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．
2．已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率为22
，
O 是坐标原点，点A ，B 分别为椭圆C 的左右
顶点，|AB |＝．
居家地毯（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）若P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，AP ∥OM ，BP ∥ON ，则△OMN 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
3．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，直线0x y -=与椭圆C 有且只有一个公共点．
（1）求椭圆C 的标准方程
（2）设点(A ，B ，P 为椭圆C 上一点，且直线PA 与PB 的斜率乘积为23-，点M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：OMN 的面积为定值．
4．如图，椭圆C ：()221212x y m m m +=>+-的离心率22
e =，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，又P ，
M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．
（1）求椭圆C 的方程，并求12k k ⋅的值；
（2）若//AP ON ，//BP OM ，判断OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
5．如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b +=的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32
e =，2312
shenh
DEF S =- ．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,x y N a b 称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）AOB 的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．
6．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为(1,0).（1）求椭圆的方程；
（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234
k k =-
热镀锌线槽时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.
7．已知双曲线2222:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的焦距为C 右支上一动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l 的距离之积为2
45
b ．（1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线l 是曲线C 在点()00,P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线1l ，2l 于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：MON △面积为定值，并求出该定值．
8．如图，已知双曲线22
:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，若点P 为双曲线C 在第一象限上的一点，且满足128PF PF +=，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B .
（1）求四边形OAPB 的面积；
（2）若对于更一般的双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
'-=>>，点P '为双曲线C '上任意一点，过点P '分别作双曲线C '两条渐近线的平行线P A ''、P B ''与渐近线的交点分别是A '和B '.请问四边形OA P B '''的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
礼花发射器9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，过点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点，满足//AM BN ，
求证：OMN 面积为定值．
10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与
直线0x y -=相切.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且22OA OB b k k a
⋅=-.求证：AOB 的面积为定值.11．已知双曲线222:1(0)x C y a a
-=>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上.当BF AF ⊥时，
BF =.（1）求双曲线C 的方程.
（2）设P 为双曲线上一点，点M ，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN 的中点，试判断MON △的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.
12．已知椭圆C ：22
221x y a b
开关柜无线测温装置+=（0a b >>）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为；（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OP OM ON =+uuu r uuur uuu r
，若点P 在椭圆上，请判断OMN 的面积是否为定值.13．已知椭圆2222:1x y C a b
+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．
14．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2
，点G 是椭圆上一点，
12GF F △的周长为6+.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.
15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 与y 轴的一个交点为M ，
且12F F =12MF =.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点D .若直线BD 的斜率为1，求证：OAB 的面积为定值.
16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b
-=>>的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点
M 在第一象限)，
直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT 面积为1S ，QBT △面积为2S ，求证：12
S S 为定值.17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>
的一条渐近线方程为y =，右准线方程为33
x =．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）过点(0,1)P -的直线l 分别交双曲线C 的左、右两支于点,A B ，交双曲线C 的两条渐近线于点,D E （D 在y 轴左侧）．
①是否存在直线l ，使得OA OB ⊥？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；
②记ODE 和OAB 的面积分别为12,S S ，求
12S S 的取值范围．18．已知F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，点M 是抛物线上的定点，且()4,0MF = .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线AB 与抛物线C 交于不同两点()()112221,,,,3A x y B x y x x -=且，直线l 与AB 平行，且与抛物线C 相切，切点为N ，试问△ABN 的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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