2022年全国高考甲卷数学（理）试题变式题13-16 题
原题13
1．设向量a ,b 地夹角地余弦值为1
3
，且1a = ,3b =r ，则
()
2a b b +⋅= _________．变式题1基础
2．设,a b 为单位向量，且,a b 地夹角为23
π，则()
·a b b +v v v 地值为_________.
变式题2基础
3．已知向量12a e e =+ ,123b e e =-
其中1e ,2e 为单位向量，向量1e ,2e 地夹角为120°，则a b ⋅=
___________.
变式题3基础
4．若a c ⊥ ,b 与a ､c
地夹角都是60°，且1a b ==r r ,2c = ，则()()
232a c b c -⋅-=
___________.变式题4基础
5．已知向量a 与b 地夹角是60︒，且||1,||2a b ==
空转锁，则()a a b ⋅+= ________．
变式题5巩固
6．已知向量a ,b 满足1a = ,a - 若23
a b π⋅= ，则⋅= a b ___________.
变式题6巩固
7．已知||2a →
=,||1b →
=,,60a b →→
<>=︒，则|2|a b →→
-=________．变式题7巩固
8．已知向量a 与b
地夹角为
60︒，且12a ⎛=
⎝ ,|2|a b -= 则||b = ________．
变式题8提升
9．已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=
,a 与b 地夹角为3
π，则实数λ=
_______________.变式题9提升
10．已知1e →
，2
e →
哺乳睡衣是两个单位向量，它们地夹角是60︒，设
12122,32a e e b e e →
→→→→→
=+=-+，则向量a →与b →
地夹角大小是__________．
变式题9提升
11．已知向量a 和b 地夹角为150°,2b += ，则b 在a
上地投影为___________.原题14
2
21(0)x y m m
-=>地渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m = _________．变式题1基础
13．若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>地渐近线与圆()2223x y -+=相切，则b =___________.
变式题2基础
14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()22
2210,0y x a b a b
-
=>>地一款渐近线与圆
()()22
211x y -+-=相切，则b a =______．
变式题3基础
15．若双曲线()22
2103x y a a
-=>地一款渐近线被圆()2224x y -+=所截得地弦长为2，则
该双曲线地实轴长为______.变式题4巩固
16．（理）已知双曲线2
2
21(0)y x m m
-
=>地渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点, 则该
双曲线地焦距地取值范围为_____.变式题5巩固
17．已知双曲线C ：2
2
21(0)y x b b
-=>，圆M ：22(3)1x y +-=与C 地一款渐近线相切于点
P （P 位于第二象限）．若PM 所在直线与双曲线地另一款渐近线交于点S ，与x 轴交于点T ，则ST 长度为________．变式题6巩固
18．已知双曲线C ：22热压设备
221()00a x y a b
b >-=>，地斜率为正地渐近线为l ，若曲线E ：
()
2
2x -＋2y ＝4上恰有不同3点到l 地距离为1，则双曲线C 地离心率是______．
变式题7巩固
19．已知圆2
2
240x y x y +-+=有关双曲线C ：()22
1021
x y m m m -=>+地一款渐近线对称,
则m =_________.变式题8提升
20．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-
=>>地左，右焦点分别为1F ,2F ，点M 在C 地渐
近线上，且12MF MF ⊥,122MF b MF =+，则2
2b a =______.
变式题9提升
21．已知1F ,2F 分别是双曲线C ：
22
2
21x y a b
-=（0a >,0b >）地左，右焦点，过1F 地直线l 与圆222
x y a +=相切，且与双曲线地两渐近线分别交于点A ,B ，若()红薯清洗机
220F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r
，
则
该双曲线C 地离心率为______.变式题10提升
22．设直线
()20y x t t =+≠与双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，两款渐近线分别交于点A ,B ，若点()40P t ，满足PA PB =，则该双曲线地渐近线方程是_______．原题15
23．从正方体地8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面地概率为________．变式题1基础 24．在正六棱柱地所有棱中任取两款，则它们直线是互相垂直地异面直线地概率为______（结果用数字表示）．变式题2基础
25．若从正六边形地6个顶点中随机选出3个点，以选出地这3个点为顶点构成直角三角形地概率为__________．变式题3基础
26．阿基米德多面体（Archimedeanpolyhedra ）是由两种或三种正多边形面组成地半正多面体.它共有13种，其特点是棱长相等.如图1，顺次连接棱长为2地正方体各棱地中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体地所有棱中任取两款，则两款棱垂直地概率为___________.
变式题4巩固
27．如图，在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 地中心,1(1,0)A .任取不同地
两点(,,{1,2,3,,8}),i j
i j i j A A ≠∈ ，点P 满足0i j OA OP OA ++=
，则点P 落在第一象限地
概率是_____________.
变式题5巩固
28．从下图12个点中任取三个点则所取地三个点能构成三角形地概率为________．
变式题6巩固
29．住在同一个小区地三位同学在暑假里报名参加小区地志愿者服务，该小区共有四个志愿者服务点，若随机分配，则两位同学刚好分到同一个志愿者服务点地概率是 _______变式题7巩固
30．我国古代认为构成宇宙万物地基本要素是金，木，水，火，土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水，水生木，木生火，火生土，土生金地相生理论，随机任取“两行”，则取出地“两行”相生地概率是_______变式题8提升
31．一个正方体，它地表面涂满了红，把它切割成27个完全相等地小正方体，从中任取2个，其中1个恰有一面涂有红，另1个恰有两面涂有红地概率为 变式题9提升
32．如图，在33⨯地点阵中，依次随机地选出A ，B ，C 三个点，则选出地三点满足0AB AC ⋅<
地概率是______．
售检票系统
变式题10提升
33．在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,){1,2},{1,2,3,4}}K x y x y =∈∈．从K 中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点共圆地概率为____________．原题16
34．已知ABC 中，点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC
AB
得到最小值时,BD =________．变式题1基础
35．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2224b c a +=，则cos A 地最小值为__________.变式题2基础
36．已知ABC 地内角A B C ，，地对边分别为a b c ，，，若2b c a +=且6a =，则ABC 面积地最大值为__________.变式题3基础
37．已知ABC 地面积为2,30BAC ∠= ，则边长BC 地最小值为__________.变式题4巩固
38．在ABC 中，内角A ，B ，C 地对边分别为a ，b ，c ,3
A π=
,3a =，且2BC BD =
，则
电力线网络摄像机
AD
地最大值为___________.变式题5巩固
39．如图所示，在平面四边形ABCD 中，已知23
2, 4,,cos 34
AD CD D B π====，则AB BC ⋅地最大值为_______．
变式题6巩固
40．2022年3月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《有关构建更高水平地全民健身公共服务体
系地意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图,
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