一．选择题（共5小题）
1．（2019•顺义区二模）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表 示为：．已知，，，，如果，那么与互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是
A ．，
B ．，
C ．，
D ．，
2．（2007秋•东城区期末）定义：平面向量，与数量积的运算为，如果，，则 A ． B ． C ．10 D ．5 3．（2016春•西城区校级期中）正方形的边长为8，顺次连接四边中点，所得的四边形面积是
A ．24
B ．32
C ．36
D ．40
4．（2015春•北京校级期中）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．任意四边形
5．（2015春•海淀区期末）如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为
微波感应开关
A ．14
B ．12
C ．24
D ．48
二．填空题（共5小题）
6．（2017春•海淀区校级月考）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、
、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）
．如图作两个相邻的正方形．
以xOy P (,)m n OP u u u r P (,)OP m n =u u u r 1(OA x =u u u r 1)y 2(OB x =u u u r 2)y 12120x x y y +=OA u u u r OB u u u r ()(4,3)OC =-u u u r (3,4)OD =-u u u r (2,3)OE =-u u u r (3,2)OF =-u u u
r OG =u u u
r (OH =u u u u
r OM =u u u u
r (ON =-u u u r 1122(,),(,)a x y b x y ==r r a r b r 1212a b x x y y =+r r g
(1,3)a =-r (2,4)b =-r (a b =r r gu型卡子
)14-11-ABCD ()()ABCD AC BD ⊥O E F G H AD AB BC CD 8AC =6BD =EFGH ()ABCD AB u u u r BA u u u r AC u u u r CA u u u r AD u u u r DA u u u r BD u u u r DB u u u r AB u u u r DC u u u r
其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为（2），则（2）的值为 ．
7．（2014•怀柔区一模）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有 个；第2014个图形中直角三角形的个数有 个．
8．（2014秋•大兴区校级期中）顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是矩形，那么原四边形可能是 （填一种即可）
9．（2014春•西城区校级期中）如图，矩形中，，，依次连结它的各边中点得到第一个四边形
，
再依次连结四边形的各边中点得到第二个四边形，按此方法继续下去，得到的第个四边形的面积等于 ．
10．（2014•昌平区一模）已知：四边形的面积为1．如图1，取四边形各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图2，取四边形各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；；取四边形各边的为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共4小题）
11．（2019春•房山区期末）已知：如图，四边形中，，、、、分别为、、
、
f f ABCD AD a =AB b =1111E F G H 1111E F G H 2222E F G H n n n n n E F G H ABCD ABCD ABCD ⋯ABCD (n n ABCD AC BD ⊥E F G H AB BC CD
的中点，判断与的数量关系并加以证明．
12．（2018春•丰台区期中）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形．
13．（2017春•西城区期末）（1）画图连线写依据：
先分别完成以下画图（不要求尺规作图），再与判断四边形形状的相应结论连线，并写出判定依据（只将最后一步判定特殊平行四边形的依据填在横线上）．
①如图1，在矩形中，为对角线的交点，过点画直线，过点画直线，与的交点为点，得到四边形．
②如图2，在菱形中，顺次连接四边形，，，的中点，，，，得到四边形
．
（2）请从图1，图2的结论中选择一个进行证明．
请先在以下相应方框内打勾，在证明想用结论．
DA EG FH ABCD E F G H AB BC CD DA EFGH --DEMN ABEN D N //NP DE E //EQ DN NP EQ M DEMN ABFG AB BF FG GA D E M N DEMN
证明：
14．（2015•通州区二模）如图①，，点，为射线，上的动点（点，不与点重合），且
的内部、的外部有一点，且，．
（1）求的长；
（2）求证：点在的平分线上；
（3）如图②，点，，，分别是四边形的边，，，的中点，连接，，，
，．当时，请直接写出四边形周长的值．
60MON ∠=︒A B OM ON A B O AB =MON ∠AOB ∆P AP BP =120APB ∠=︒AP P MON ∠C D E F AOBP AO OB BP PA CD DE EF FC OP AB OP ⊥CDEF
中点四边形（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
引出线一．选择题（共5小题）
1．（2019•顺义区二模）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表
示为：．已知，，，，如果，那么与互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是
A ．，
B ．，
C ．，
D ．，
【分析】根据平面向量垂直的判定方法，一一判断即可．
【解答】解：对于选项，
与互相垂直．
故选：．
【点评】本题考查平面向量，点的坐标，平面向量垂直的条件等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
太阳能风扇帽
2．（2007秋•东城区期末）定义：平面向量，与数量积的运算为，如果，，则 A ． B ． C ．10 D ．5
【分析】根据题意，结合数量积的表达式直接进行计算即可．
【解答】解：由题意得
．
故选：．
电动画舫船
【点评】本题考查了平面向量的知识，解答本题关键是仔细审题，理解数量积的运算法则．
3．（2016春•西城区校级期中）正方形的边长为8，顺次连接四边中点，所得的四边形面积是
A ．24
B ．32
C ．36
D ．40 xOy P (,)m n OP u u u r P (,)OP m n =u u u r 1(OA x =u u u r 1)y 2(OB x =u u u r 2)y 12120x x y y +=OA u u u r OB u u u r ()(4,3)OC =-u u u r (3,4)OD =-u u u r (2,3)O
E =-u u u r (3,2)O
F =-u u u
r OG =u u u
r (OH =u u u u
r OM =u u u u
r (ON =-u u u r
D (420-+⨯=∴OM u u u u r ON u u u r D 1122(,),(,)a x y b x y ==r r a r b r 1212a b x x y y =+r r g
(1,3)a =-r (2,4)b =-r (a b =r r g
)14-11-a b r r g 1(2)(3)4=⨯-+-⨯212=--14=-A ABCD ()
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