第二章 习题解答
1．若确知信号为()()t u e t f at
解：信号的傅氏变换为
()[]()()ω
ωωωj a dt e
e dt
e t
f F t f t
j at t j +=
===ℑ⎰⎰∞
-
--∞
∞
-10
其能量谱密度为
()()2
22
1
ωωω+=
=a F E
其能量为
()a
a a a d a
a d a d E E 21arctan 1
11
11
21210
2
222==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==
平移天窗∞∞
∞-∞
∞-∞
∞
-
⎰⎰⎰
ωπωωπ
ω
ωπωωπ
信号的能量也可用下面的方式求解
()()
a
e a dt e dt
e dt t
f E at
at at 2121
20
20
2
2
=-====∞-∞-∞
-∞
∞
-⎰
⎰⎰
2． （a ）试证明题图2－1所示的三个函数在区间（－2，2）上两两正交。 （b ）求（a ）中的三个函数组成的标准正交基函数所需要的常数A 。 （c ）用（b ）中的标准正交基函数表示波形()t x 。
()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=其它,020,1t t x
A
A
题图 2－1
解：
（a ）计算两两函数间的相关性
()()()()()()()()()()0
22222
1
10
01
12
2
2
21=-+-=-++-+--=ψψ⎰⎰⎰⎰⎰
----A A A A dt
A A dt A A dt A A dt A A dt t t
()()()()()()()()()()0
22222
1
1
1
1
2
2
2
31=+--=--+-+-+--=ψψ⎰⎰⎰⎰⎰----A A A A dt
A A dt A A dt A A dt A A dt t t
()()()()()()0
22222
02
22
32=-=-+--=ψψ⎰⎰⎰
--A A dt
A A dt A A dt t t
可见三个函数两两正交。
（b ）任取一函数，如()t 1ψ，对其码元的能量进行归一化，即令
()()()()()()1422
222121*********
2
21
===-+++-=ψ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-----A dt A dt A dt A dt A dt A dt t
解得 A ＝1/2。
（c ）已知由（b ），取得A ＝1/2，直接观察函数x(t)与该标准正交基函数的关系，易患：
()()()t t t x 32ψ-ψ=。
若按概念求解，则有：低频放大器
()()()()t a t a t a t x 332211ψ+ψ+ψ=
其中
()()02
2
11=ψ=⎰-dt t t x a
()()12
1
12
02
222=⋅=ψ=⎰⎰-dt dt t t x a
()()121120
2233-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅=ψ=⎰⎰-dt dt t t x a
一样得：()()()t t t x 32ψ-ψ=。
3．带通信号()其他
T t t
f A t s C <≤⎩
⎨
⎧=002cos π通过一个冲激响应为()t h 的线性系统，输出为抗菌防臭袜
()t y 。若T f C 4
=
，()其他
T t t f t h C <≤⎩
⎨⎧=002cos 2π，试求：（1）()t s 的复包络()t s L ；
（2）()t y 的复包络()t y L 的复包络；（3）求()t y 。 解：
（1）()其他
T t A t s L <≤⎩⎨
⎧=00
；
（2）()t h 的等效低通响应为 ()()其他
T t e t z t h t f j h L C <≤⎩⎨⎧==
-
00
121
2π
()()()()()()其他
T t T T t T t AT At d t s d h t s t s t h t y T L L L L L L 2002*0<≤<≤⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=-==⎰⎰∞
∞
-τττ
ττ
（3）()()[
]
其他
T t T T t t
f T t AT t f At e
t y t y C C t
f j L C 2002cos 22cos Re 2<≤<≤⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-==πππ
4．证明实平稳随机进程()t X 的自协方差函数知足若是的关系：（1）()()ττ-Γ=ΓX X ；（2）()()2
X X X m R -=Γττ；（3）()()0X X Γ≤Γτ。
解：
（1）依照概念
()()[]()[]{}
()[]()[]{}()
ττττ-Γ=-+-=--+=ΓX X X X X X m t X m t X E m t X m t X E
（2）利用随机进程平稳的特性，可得
()()[]()[]{}
()()()()[]
()()[]()[]()[]()2
22
X
X X
X X X
X X X X X m R m
m t X E m t X E t X t X E m m t X m t X t X t X E m t X m t X E -=+-+-+=+-+-+=--+=Γτττττττ
（3）利用小题（2）的结果和自相关函数()()0X X R R ≤τ的性质，立刻有
()()0X X Γ≤Γτ
5． 设()t x t x t y 0201sin cos ωω-=，是均值为0、方差为2 σ，且彼此独立的高斯随机变
液压阀体量，试求：（1）()[]t y E 和()[]
t y E 2
；
（2）()t y 的一维概率密度函数()y p ；（3）求()
t y 的相关函数与自协方差函数。 解： （1）
()[][]()()000sin cos sin cos 02010201=-=-=-=t x E t x E t x t x E t y E ωωωω
()[
]()
[
]
()()
[
]
()
()()()()()()2
2
2
2
2
2
22
2
风扇转速测试21
2
22
2
1
022
1022
2002102212
0200212
012
02012sin cos sin 0cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos σ
ωσωσωωωωωωωωωωωωωωωω=+=+-=+-=+-=+-=-=t t t x E t x E t
x E t t x E x E t x E t
x t t x x t x E t x t t x x t x E t x t x E t y E
（2）在任一时刻()t x t x t y 0201sin cos ωω-=可看做两高斯随机变量的线性加权和，因此仍为一高斯随机变量，由小题（1），已经求得()[]t y E ＝0和()[]
2
2
σ=t y E ，由此可得
()()[](){}
()[]()[]{}222222
0σσσ=-=-=-=t y E t y E t y E t y E y
已知该高斯随机进程的均值与方差，可得其散布为
()()[]⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=222
2222exp 212exp 21
σσπσσπy y E y y p y y （3）()t y 的相关函数
()()()[]()()[]
[
]
()()
()()τωσωσωωωωσωωωωωωωωωωωωωωωω0212022010201022
0102
22
01
021
2
0102
22010212010212010212022011021012121cos cos sin sin cos cos sin sin 00cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos ,=-=-=+--=+--=--==t t t t t t t t x E t
t x E t t x t t x x t t x x t t x E t x t x t x t x E t y t y E t t R y 其中12t t -=τ。因已知()t y 的均值为0，可见()t y 是一平稳随机进程。
()t y 的自协方差函数
光纤入户信息箱()()()[]()()()[](){}()()[]()τ
ωσωσ02
1202
21221121cos cos ,=-==--=Γt t t y t y E t y E t y t y E t y E t t y
6．已知随机信号()()φω+=t A t x 0cos ，式中A 是均值为μA 、方差为σA 2的高斯随机变量。（1）求
随机信号x(t)的均值和方差；（2）该随机信号是不是为广义平稳的随机进程，为何？ 解：（1） 均值：
()[]()[][]()()φωμφωφω+=+=+=t t A E t A E t x E A 000cos cos cos
方差：
()()()[]()()[]()()[]()[]()
()[]()()()
[]
()()()()
()
()()()()
()
()()
φωφωμσ
φωφωμφωφωμσφωφωμφωφωφωφωμφωμφωμφωμφωμ++-=++-++-=++-++=++++-+-=+-+-=Γ20102
220102
20102220102
20102
20102
2011022120210121cos cos 2cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ,t t t t t t t t t t A E t t t t x E t t x E t x t x E t t x t t x E t t A A
A A A A
A A A A A
（2）因为均值为时变的函数，所以该随机信号为非平稳的随机进程。
7．已知()t x 和()t y 是两个彼此独立和零均值的平稳随机进程，它们的自相关函数别离为：()()()τβδτττ
α==-y X R e R ,
。若()()()t y t x t z +=，求()t z 的功率密度谱。
解：
由于()t x 和()t y 彼此独立，且均值为0，因此()()[]()[]()[]02121==t y E t x E t y t x E ，所以()t z 的自相关函数
()()()[]()()[]()()[]{}
()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()[]()[]()[]()[]()()[]()()[]()()[]()()
ττττττττττττττττy x z R R t y t y E t x t x E t y t y E t y E t x E t y E t x E t x t x E t y t y E t y t x E t y t x E t x t x E t y t x t y t x E t z t z E R +=+++=+++++++=+++++++=++++=+= ()t z 的功率密度谱为
()()()()[]()[
]
β
παα
βπαπαβττττβδτ
τττττπαττ
παττ
πτ
ατπτ
π++=+-++=
++=+=+==⎰⎰⎰⎰
⎰∞
--∞
--∞
∞---∞
∞
--∞
∞
--2
220
20
2222422121f f j f j d e e d e
e d e
e
d e
R R d e R f P f j f j f j f j y
x
f j z z
8．设RC 低通滤波器如题图4－1所示，求当输入n(t)为均值为0，功率密度谱为N 0/2的白噪声时，输出进程y(t)的均值、功率密度谱、自相关函数和散布特性。
题图8 RC 低通滤波器
解：
RC 低通滤波器的频率特性为
()fRC
j f H π211
+=
均值
()()()[]()00=⋅-=-=⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-τττττd t h d n E t h t m Y
功率密度谱
()()()2
22202
411
2C R f N f H f P f P I Y π+=
=
自相关函数，求功率密度谱的傅氏变换得
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议