传染病模型——精选推荐

数学建模

3.12传染病模型

摘要：本文是一个对传染病的研究问题。通过把一般把传染病流行范围内的人分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。建立数学模型用极限和微积分等数学方法对传染病传播规律进行研究。

关键词：传染病 极限和微积分

正文

1 传染病〔Infectious Diseases〕是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。病原体中大部分是微生物，小部分为寄生虫，寄生虫引起者又称寄生虫病。有些传染病，防疫部门必须及时掌握其发病情况，及时采取对策，因此发现后应按规定时间及时向当地防疫部门报告，称为法定传染病。中国目前的法定传染病有甲、乙、丙3类，共37种

医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国家，一些常见的传染病也未绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病（AIDS）等。有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。

传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人中实验的方式获得科学数据。事实上，在人中作传染病实验是极不人道的。所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取。这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地确定某些参数，只能大概估计其范围。基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。

2问题提出

上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？

3 模型分析 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。

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徐世音 传染病模型

4 模型假设 我们把传染病流行范围内的人分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。

5建立模型

5．1SI模型1

SI模型是指易感者被传染后变为感病者且经久不愈，不考虑移出者，人员流动图为：

S→I。

假设

1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0。

2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。

记时刻t的得病人数为i(t)，开始时有i0个传染病人，则在t时间内增加的病人数为

i(tt)i(t)k0i(t)t

于是得：

di(t)k0i(t)dti(0)i0

k0ti(t)ie0其解为：。

分析与解释：这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数（不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数），在传染病传播期间，一个病人单位时间内能传染的人数k0则是在改变k的。在初期，0较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是k0就会变小。

5．2SI模型2

记时刻t的健康者人数为s(t)，假设

1.总人数为常数n，且i(t)s(t)n。

2

数学建模

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。

3.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。

可得方程：

di(t)di(t)ks(t)i(t)ks(ni)dtdti(0)i0i(0)i0，即

i(t)nn1(1)eknti0。 解得：nln(1)i0dit1kn。这可以表示传染病高峰时刻。随着病人分析：可以解得dt的极大值点为：的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是k0就会变小。

当传染强度k增加时，t1将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。但当t时，i(t)n，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。

5．3带宣传效应的SI模型（3）。

假设

1.单位时间内正常人被传染的比率为常数r。

2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。

di(t)r(ni)dti0rti(t)n[1(1)e]i(0)i0n我们得方程：，解得：，这表明最终每个人都要传染上疾病。

我们假设，宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这个比例常数取决于宣传强度。若从tt00开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为a，则所得的数学模型为：

dir(ni)anH(tt0)dti(0)i0

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徐世音 传染病模型

其中：1H(tt0)0tt0tt0为Heaviside函数。

iani(t)n[1(10)ert]H(tt0)[1er(tt0)]nr求得：

alimi(t)n(1)ntr，这表明持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少。

如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等，即在tt1,t2,,tm等m个时刻进行m次宣传，宣传强度分别为a1,a2,,am，则模型变为：

mdir(ni)n(ttj)j1dti(0)i0

i(t)i0e解得：trtn[1e]najH(ttj)ertj1mr(ttj)

limi(t)n

这表明短暂的宣传是不起作用的，最终还是所有的人都染上了疾病。

5．4SIS模型

SIS模型是指易感者被传染后变为感病者，感病者可以被治愈，但不会产生免疫力，所以仍为易感者。人员流动图为：S→I→S。

有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定无免疫性。于是痊愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人。

假定：

1.总人数为常数n，且i(t)s(t)n。

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。

3.感病者以固定的比率h痊愈，而重新成为易感者。

我们可得模型：

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数学建模

di(t)ki(t)s(t)hi(t)dti(0)i0

i(t)1k1k()e(hnk)tnkhi0nkhhnki(t)i01kti0hnk可解得：或

nknkhnk1limi(t)1limi(t)0thkh分析：时，；时，t。这里出现了传染病学中非常重nk1h要的阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即是一个门槛，这与实际很符合，即人口越多，传染率越高，从得病到治愈时间越长，传染病越容易流行。

5．5SIR模型。

SIR模型是指易感者被传染后变为感病者，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移出者。人员流动图为：S→I→R。

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类。

假设：

1.总人数为常数n，且i(t)s(t)r(t)n；

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。

3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为l，称为恢复系数。

可得方程：

diksilii(0)i00dts(0)s00dsksir(0)r00dt取初值：

sdililnsn1limi(t)0sk，所以0分析：由以上方程组得：dss，容易得出t；而当s0时，i(t)单调下降趋于零；s0时，i(t)先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象：是一个门槛。从的意义可知，应该降低传染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平。

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徐世音 传染病模型

令t可得；lnss(s)sn0s0s200s0，假定s0n，可得：，所以若记

s0，当时，s0s2，这也就解释了本文开头的问题，即同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变.

模型的应用与推广 通过模型1-5的分析可得看出传染病的传播过程，传播高峰期影响因素。传染病的特点是有病原体，有传染性和流行性，感染后常有免疫性。有些传染病还有季节性或地方性。传染病的分类尚未统一，有人按病原体分类，有人按传播途径分类。传染病的预防应采取以切断主要传播环节为主导的综合措施。传染病的传播和流行必须具备3个环节，即传染源（能排出病原体的人和／或动物）、传播途径（病原体传染他人的途径）及易感者（对该种传染病无免疫力者）。若能完全切断其中的一个环节，即可防止该种传染病的发生和流行。各种传染病的薄弱环节各不相同。在预防中应充分利用。除主导环节外对其他环节也应采取措施，只有这样才能更好地预防各种传染病。

由于生物性的致病原于人体外可存活的时间不一，存在人体内的位置、活动方式都有不同，都影响了一个感染症如何传染的过程。为了生存和繁衍，这类病原性的微生物必须具备可传染的性质，每一种传染性的病原通常都有特定的传播方式，例如透过呼吸的路径，某些细菌或病毒可以引起宿主呼吸道表面黏膜层的型态变化，刺激神经反射而引起咳嗽或喷嚏等症状，藉此重回空气等待下一个宿主将其入，但也有部分微生物则是引起消化系统异常，像是腹泻或呕吐，并随着排出物散布在各处。透过这些方式，复制的病原随患者的活动范围可大量散播。

空气传染，有些病原体在空气中可以自由散布，直径通常为5微米，能够长时间浮游于空气中，做长距离的移动，主要藉由呼吸系统感染，有时亦与飞沫传染混称。

飞沫传染，飞沫传染是许多感染原的主要传播途径，藉由患者咳嗽、打喷嚏、说话时，喷出温暖而潮湿之液滴，病原附着其上，随空气扰动飘散短时间、短距离地在风中漂浮，由下一位宿主因呼吸、张口或偶然碰触到眼睛表面时黏附，造成新的宿主受到感染。例如：细菌性脑膜炎、水痘、普通感冒、流行性感冒、腮腺炎、结核、麻疹、德国麻疹、百日咳等等。由于飞沫质、量均小，难以承载较重之病原，因此寄生虫感染几乎不由此途径传染其它个体。

粪口传染，常见于发展中国家卫生系统尚未健全、教育倡导不周的情况下，未处理之废水或受病原沾染物，直接排放于环境中，可能污损饮水、食物或碰触口、鼻黏膜之器具，以及如厕后清洁不完全，藉由饮食过程可导致食入者感染，主要病原可为病毒、细菌、寄生虫，如、A型肝炎、小儿麻痹、轮状病毒、弓型虫感染症（T. gondii），于已开发国家也可能发生。有时，某些生物因体表组织构造不足以保护个体，可能因接触患者之排泄物而受到感染，正常情况下在人类族中不会发生这种特例。

接触传染，经由直接碰触而传染的方式称为接触传染，这类疾病除了直接触摸、亲吻患者，也可以透过共享牙刷、毛巾、刮胡刀、餐具、衣物等贴身器材，或是因患者接触后，在环境留下病原达到传播的目的。因此此类传染病较常发生在学校、军队等物品可能不慎共享的场所。例如：真菌感染的香港脚、细菌感染的脓包症（Impetigo）、病毒在表皮引起增生的疣，而梅毒的情况特殊，通常是健康个体接触感染者的硬性下疳（chancre）所致。

此外还有性传染疾，垂直传染 ，血液传染。

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数学建模

被传染的人数是由多种因数造成的，它与当地人数都关，当地人数即人口越多，传染率越高，从得病到治愈时间越长，传染病越容易流行。随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少。当传染强度增加时，传染高峰来得快。而同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数也会大致不变。

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