金融工程讲义 第四讲 古典(classical)投资组合理论

第四讲 古典（classical）投资组合理论

一．马尔科维茨资产组合理论的基本假设

马尔科维茨的资产组合理论有很多假设，但是这些假设基本上可以归为两大类：一类是关于投资者的假设；另一类是关于资本市场的假设。

㈠关于投资者的假设

⑴投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收益和方差。期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而收益的方差则反映了投资者对风险的估计。

⑵投资者是理性的，也是风险厌恶的。即在任一给定的风险程度下，投资者愿意选择期望收益高的有价证券；或者在期望收益一定时，投资者愿意选择风险程度较低的有价证券。

⑶投资者的目标是使其期望效用E(U)f(E(r),2)最大化，其中E(r)和分别为投资的期望收益和方差。对于一个风险厌恶的投资者来说，其期望效用函数E(U)是单调凸函数。

㈡关于资本市场的假设

⑴资本市场是有效的。证券的价格反映了其内在价值，证券的任何信息都能够迅速地被市场上每个投资者所了解，不存在税收和交易成本。

⑵资本市场上的证券是有风险的，也就是说收益具有不确定性，证券的收益都服从正态分布，不同证券的收益之间有一定的相关关系。

⑶资本市场上的每种证券都是无限可分的，这就意味着只要投资者愿意，他可以购买少于一股的股票。

⑷资本市场的供给具有无限弹性，也就是说资产组合中任何证券的购买和销售都不会影响到市场的价格。

⑸市场允许卖空（sell short）(市场不允许卖空的情况在此不做讨论)。

在所有的这些假设中，最值得我们注意的是马尔科维茨独创性地用期望效用（expected

utility）最大化准则代替了期望收益最大化准则。在现代资产组合理论诞生之前，人们在研究不确定条件下的投资时，关于投资者的目标是假定他追求期望收益的最大化，但是这种假设却存在这样的问题：如果资本市场上仅存在一种具有最高收益的资产，投资者只需要将全部资金投资于该种资产即可实现期望收益最大化；如果同时有几种资产具有相同的最大收益，那么对投资者而言，在这些资产中进行组合投资与只投资于一种资产将毫无区别。因此，在资本市场上存在大量的资产时，期望收益最大化准则就无法解释为什么要进行多元化的投资，也无法解释组合投资的效应。

针对这一问题，马尔科维茨假定投资者是追求期望效用最大化的。也就是说，理性的投资者不光追求高的期望收益，同时还要考虑风险问题，要在风险和收益之间做出权衡，选择能带来最大效用的风险和收益组合。因此，用期望效用最大化原则代替期望收益最大化原则是更符合实际的。

二．无差异曲线

根据投资者对资产的风险和收益的偏好不同，可以将投资者划分为三类：风险规避（risk-awesome）者、风险偏好（risk-loving）者和风险中立（risk-neutral）者。

在资产组合理论中，我们假定投资者是风险规避者，因此，其无差异曲线(indifference

curve)就如图4.2所示：

1

2

沿着无差异曲线移动，投资者或者承担较多的风险并获得较高的收益，或者承担较少的风险同时获得较低的收益，这也正体现了风险规避者的特点。

无差异曲线的基本特征是：

第一， 位于无差异曲线上的所有组合（E(R),）都向投资者提供了相同的期望效用。

第二， 当无差异曲线向左上移动时，投资者的期望效用增加。

第三， 无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风险的均衡点的个人评估，也就是说，无差异趋势是主观确定的，曲线的形状因投资者的不同而不同。

三．最小方差投资组合

由前面关于投资者的假设2，我们知道马尔科维茨资产组合理论中的最优资产组合必须符合以下两个条件之一：

⑴在预期收益水平确定的情况下，即a，求使风险达到最小，即var(x)最小；

⑵在风险水平确定的情况下，即0(已知)，求使收益最大，即x达到最大。

将这两个条件写成数学表达式，分别为：

⑴min，它满足约束条件：

11,a

⑵max，它满足约束条件：

11,0

2

实际上，这两个条件是等价的。

下面，我们用拉格朗日（Lagrange）乘数法对min 式进行求解。令

L21(11)22(a)

则

L2211220

解得：

1(112)

对1(112)式两边同乘1，得

111(112)

由约束条件可得

11111211

对1(112))两边同乘以，得

1(112)11121

由约束条件可知

a11121

令

A111

B11

C1

由11111211式和a11121式可得方程组：

1A2B1

1B2Ca解得

1BCaB

1aC

3

A12其中

BAaAB

ACB2

将1，2的值代入1(112)式，得

a1CaBaAB11

CaB1aAB11即

a11121

此证券组合预期收益ax的方差为：

2(ax)a

CaB1aAB11CaBaABa1aCaBaAB

a1BC(Aa22a)AAAB1(a)22A说明1：最小方差资产组合是由给定的期望收益a确定的，故用a表示。对应不同的a，有不同的a，它满足11，a，并使得风险达到最小，相应的风险记为22(ax)。对于给定的收益（如a），我们将所有大于最小方差(ax)的资产组合称为“可行组合”。

2说明2：由(ax)AB1(a)2式可得

2A1AB2()2

AA故

4

21

A2式中，是任意的一个数（与a含义相同），表示资产组合的预期收益水平，而则表示与相对应的证券组合的方差。

对21AB()2式两边同乘以，可得

AAAB1()2(2

AAA两边开平方并移项，得

B21()

AAAB221)(式表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为AAA2在(,)平面上(1B(,)。现在我们要确定的是抛物线的开口方向。因为

AA1，C0

A1110（正定）由柯西-席瓦尔兹不等式(Cauchy Schwarz inequality)可得：

1111212(112121)(121212

AB21212 故BAC，从而0，所以0，抛物线开口向右。

A2经过上面的分析，我们知道最小方差资产组合的图形在(,)平面上是一条抛物线，其图形如图4-1所示：

5

说明3：在(2,)平面上，由21AB()2式得：

AA2AB1()2

AA其图形如图4-2所示：

对2AB1()2式移项得

AA221A21AAB1()2AAB()2A1

1AAB()2A1A2在(,)平面上，21A(B2)A1式为双曲线的标准型，中心在(0,B)，对称轴为AA20和A。由于0，故只取双曲线在第一象限那一支。

B双曲线的图形如图4-3所示：

6

说明4：在图4-3中的g点是一个特殊的点，它是双曲线在第一象限中图形的顶点。由图可知，g所代表的组合是所有可行组合中方差最小的，我们将其称为“全局最小方差组合”。由图4-3可知，g点的组合是：

gB12

g

AA1以g的值代替1BA1BAaABCaB式和2式中a得：

aC11

20

A再将1和2的值代人1(112)式得：

g11A11111

关于g点就是全局最小方差组合的严格证明如下：

11B2，且(g)的充分必要条件是ga。

AAAAB212证明：由于A0，0，由(ax)(a) 式知：

2A12

(g)

A命题4—1

2(g)必要性：设

1

AAB212由(ax)(a)式可知：

2ABB(a)20

a

AA2(g)

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充分性：反之，当a

(g)2BAB212，由(ax)(a)式可得

A2A1

A

g点以下的前沿是所有可行组合中方差相同而期望收益较小的组合，任何一个理性的投g点以上的边缘是所有可行组合中方差相同而期望收益较大的资者都不会选择这样的组合。组合，我们将这些组合称为有效组合，也就是投资者实际上可以选择的组合。所有有效组合的总和称为有效前沿（efficient frontier）。

投资者在有效前沿上具体选择哪个投资组合，取决于他的期望效用函数E(U)f(E(r),2)。期望效用函数在图形上表示为一系列无差异曲线。同一条无差异曲线上的每一个组合对该投资者来说效用都是一样的，但是不同无差异曲线所代表的效用是有差别的，位置越靠近左上的曲线代表的效用水平越高。—邑确定了投资者的无差异曲线，则投资者的最优投资组合就是无差异曲线和有效前沿的切点，这一切点是所有的可行组合中能给投资者带来最大效用的组合，图4-4中的点M就是这样一个最优组合。

说明：p表示证券组合P收益的标准差，Rp表示证券组合的收益，IDC1、IDC2分别表示两条无差异曲线。

说明5：前面我们已经假设了n种资产，其收益为xi(i1,2,,n),xi随机变量，且

E(x1)1E(x)22

E(x)E(x)nn毫无疑问，i0；否则，若i0，则此种证券无人投资。

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记

mini

maxi

1in1in 由于a是1,2,,n的加权平均，因此对于任意给定的a，它一定在,这个区间内。一般来说，i不全相等，因为当i全相等时，就不存在选择的问题了。

命题4-2

给定,中两个数a和b，相应的有：

a和

CaBaAB111

b则有：

CbBbAB111

ABB1cov(ax,bx)(a)(b)

AAA证明：

cov(ax,bx)E(axE(ax))(bxE(bx))E(a(xE(x))(xE(x))b)aE(xE(x))(xE(x))babaCbBbAB1a

1(CaBb(aAB))ACBB(abab)AAAABB1(a)(b)AAA

四．两基金分离定理

命题4-3 由前式我们得知全局最小方差资产组合为

g同时，令

11111

11Cd

B0

1BB1

9

有

d则11

11(112)式可以改写成：

a1Ag2Bd

其中1CaBaAB，2（1，2都是由期望收益a确定的）。

证明：由1(112)式知

dCdB1dAB11CAB1BACB21B11B对于任意的a

,，有

a111211A111112B1B

1Ag2Bd从而a是g和d的一个线性组合，cov(ax,bx)ABB1

(a)(b)式成立。AAA说明1：由于

1A2B11(CaB)A(aAB)B

1(ACaABaABB2)1(ACB2)1故若a1Ag2Bd式成立，则apg(1p)d，其中0p1，a是d和g的凸线性组合。

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说明2：d与g在代数意义下线性不相关。

证明：如果d与g在代数意义下线性相关，则可设gkd,有：

cov(gx,dx)cov(gx,kgx)kcov(gx,gx)k11AA

由此可得k1，且gd，即

1所以

111111

11B，1

ABA上式表明，i每个分量都相等，这与i不完全相同的假设矛盾。因此，d与g在代数意义下线性不相关。

说明3：由ABB1cov(ax,bx)(a)(b)AAA式可知，1cov(gx,dx)2(g)。

AB说明2告诉我们，a(a)可由两个给定的线性无关（代数意义）的证券组合d和A。特别的有：

g的线性组合表示出来（实际上是它们的凸组合）命题4-4

给定a都可以由任意两个线性不相关的证券组合线性表示出来。

证明：设t和k为两个线性不相关的最小方差的证券组合，则

k(1k)gkd

t(1l)gld由此

ktlkgkl

(1k)l(1l)kdlk代入

11

a1Ag2Bd2B(1l)1Alklk1Ak2B(k1)kll

命题证毕。

由该命题知，a构成的空间的维数为2。这就告诉我们，如果到一个有效前沿的投资组合M，再一个与它不相关的(代数意义上)有效组合aM，就可以表示出所有有效前沿的投资组合p。也就是说，在有效前沿上的任意一个投资组合都可以由有效前沿上两个线性无关的投资组合线性表示出来。这就是著名的“两基金分离定理”。

两基金分离定理对于证券投资策略的制定具有重要的意义。假设现在有两家共同基金，他们的经营都很好。在这里，“经营良好”意味着他们的收益／风险关系都处于有效前沿上。再假设有一个投资者，这两家基金的收益／风险关系都不符合其要求。也就是说，这两家基金所代表的有效组合都不是这个投资者的期望效用函数与有效前沿的切点。那么这名投资者需不需要重新构建自己的有效投资组合呢?两基金分离定理告诉我们，这是不需要的。投资者只需要将自己的资金按一定的比例分配于这两家基金，就可以获得让自己满意的风险／收益关系。

五．单指数模型

马尔柯维茨的组合理论对于各资产收益一方差（风险）之间的相互关系没有做任何的假设，但是在建立有效前沿的过程中，我们需要逐一计算协方差矩阵中的每一个数值。对于包含n个资产的组合而言，我们要计算n个方差和n(n1)个协方差。威廉·夏普在马尔柯维2茨组合理论的基础上，采用回归分析的方法，提出了单指数模型，从而简化了计算过程。

1．单指数模型的基本假设

单指数模型的基本假设是，影响资产价格波动的共同因素是市场总体价格水平，这个因素通常以某一市场指数为代表。也就是说，每种资产收益的变动与整个市场变动有关，每种资产的收益与其他资产收益的关系，可以由它们与指数间的共有关系推导出来。

假设某项资产的收益和市场收益率之间具有近似的线性关系。对其做回归分析，就可以得到反映该资产收益率和市场收益率关系的回归方程，数学表达式如下：

ˆr

ˆcaˆbrmˆ是估计值；r是市场收益率。

ˆ和bˆc是对c资产收益率的估计值；a式中，rmˆc只是估计值，因此它与c资产的实际收益率rc之间必然有偏差。为了确切反映资 由于r产收益率的实际变动，同时不改变单指数模型的基本思想，我们用随机误差项c代表未被ˆr式考虑的影响r的所有因素。此时，理论线性回归模型为：

ˆcaˆbrcmrcabrmc

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注：“”的读音为“epsilon”。

进一步，任意一种证券组合收益的线性回归模型为：

ritaibirmtit

式中，rit为资产i在t时刻的收益率；ai和bi是资产i的回归系数；rmt为t时刻的市场收益率；it为资产i在t时刻的随机误差项。

通过ritaibirmtit式可以清楚地看到，影响资产收益率的因素有两类：宏观因素和微观因素。宏观因素rmt影响全局，是系统性风险；微观因素it只影响个别资产，属于非系统性风险。

2．关于随机误差项it的假设

(一)随机误差项的期望为零

从线性回归模型可知，随机误差项实际上是随机变量ri的实际值与期望值之间的差。一个好的、具有代表性的回归方程，其最基本的要求就是实际值均匀地分布在回归方程两边，所有的偏差能正负相抵，即E(i)0，这就是随机误差项所要满足的条件。

(二)随机误差项和市场收益率无关

这个条件相当于cov(i,rm)0。这是由于市场收益率属于宏观变量，而随机误差项是某一个资产价格确定因素的随机干扰项，因此我们有理由把这两者假定为不相关。

(三)不同资产的随机误差项之间相互独立

由前面单指数模型的分析思路可知，单指数模型最基本的假设就是：影响各种资产收益率的共同因素是市场因素，i只是影响某一资产的个别因素，对其他资产不产生任何影响。因此，我们需要第三个假设，i与j（ij）相互独立，当然也就不相关。若进一步假设i(i1,2,,n)服从正态分布，则只要假设它们不相关即可，也就是cov(i,j)0（ij）。

3．单个资产以及资产组合的收益和风险特征

(一)单个资产的收益和风险特征

对于单个资产ri而言，其期望收益为：

E(ri)E(aibirmi)aibiE(rm)

注意到rm与i不相关，因而其方差为：

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i2E(riE(ri))2E(aibirmiaibiE(rm))2E(bi(rmE(rm))i)2biE(rmE(rm))2E(i)2bimi2222

(二)资产组合的收益和风险特征

对资产组合的期望和方差的计算类似于马尔柯维茨模型。资产组合乡的期望收益率为：

E(rp)iE(ri)i1ni(aibiE(rm))i1nn

iai(ibi)E(rm)i1i1n定义aii1niap，ibibp，则上式可以化简为：

i1nE(rp)apbpE(rm)

资产组合的方差可以写成类似于单个资产方差的形式：

p2bp2m22

p对于资产组合随机误差项方差2p的计算类似于pnn2wwiji1j1nnij式：

ij,2pi1j12ijiijcov(i,j)2ii1i1j1jinnn

由于cov(i,j)0，所以

i22

2pni1i

4．最优投资组合的确定

与马尔科维茨模型一样，单指数模型假设投资者的组合选择必须满足以下两个条件之一：①在预期收益水平确定的情况下，方差最小；②在方差确定的情况下，预期收益最大。同样地，我们不妨对条件①进行分析，这样我们就可以得到约束条件：

222min(pbpm2p

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它满足约束条件：

i1ni1

E(rp)iE(ri)a

i1n运用拉格朗日乘数法对上式进行求解，我们就可以得到所有的最小方差组合，该最小方差组合在(,)平面上的图形与图4-3类似。其有效前沿与投资者期望效用的无差异曲线的切点就是最优投资组合。

由此可见，单指数模型的分析思路实际和马尔科维茨模型是一样的。只不过单指数模型简化了证券组合方差的计算过程。在马尔科维茨模型中，一共要计算n次方差和n(n1)次22协方差，而在指数模型中只需要计算n个bi、1个m以及n个2的值。如果资产组合中p包括40个资产的话，马尔科维茨模型要计算780个数值，而指数模型只要计算81个值，由此可以看出计算过程确实是大大简化了。

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