vague集的映射定理及其证明

vague集的映射定理及其证明

讨论了vague集与fuzzy集之间的关系和联系，全面和系统地回顾了vague集理论和应用的研究进展，最后指出vague集理论和应用的研究趋势。

【关键词】vague集 模糊集 相似度量

1 引言

人脑是世界上最复杂、智能最高的系统，能够对不确定、不精确、不完全及模糊的信息进行处理，得出符合人们认知的结论。人们在解决问题的过程中，所遇到的信息有时是模糊和不确定的，如果利用计算机来处理这类信息，计算机中要能够模拟人的智能行为。为此，在Cantor的集合论的基础上，Zadeh提出了Fuzzy集，这种集合论经过几十年的发展，在处理模糊信息中起到了较好的作用，如：模糊控制、模糊专家系统、模糊决策支持系统等。

Fuzzy集理论最本质的特征是：承认差异的中间过渡，也就是说承认渐变的隶属关系，即一个Fuzzy集F是满足某性质的一类对象，每个对象都有一个互不相同的隶属于F的程度，隶属函数给每个对象确定一个0和1之间的数作为它的隶属度。但是，隶属函数给每个对象确定的是[0，1]中的一个单值，这个单值既包含了支持的证据，也包含了反对的证据；它不可能表示其中的一个，更不可能同时表示支持和反对的证据。为了解决Fuzzy集理论的不足，台湾学者和r于1993年

提出Vague集理论，该理论是对Fuzzy集理论的推广。在Vague集中，一个对象对某个集合的隶属函数不是单值，而是区间[0，1]上的一个子区间，表示为，其中分别表示该对象属于或不属于该集合的程度，这个子区间既给出了支持的证据，同时也给出了反对 的证据。从它们的定义可以看出， Vague集比Fuzzy集能够更准确地表示模糊信息，Vague集表示和处理的模糊信息的不确定性含有更为丰富的内容。随着计算机技术的进一步发展，Vague集的用途将会越来越广。Vague集应用的实例说明了Vague集理论应用的发展前景。

（1）Vague集相似度量在许多领域有广泛的应用。

（2）Vague集算法在故障诊断中比神经网络和遗传算法等传统方法效果更好。

（3）Vague集相似度量在最优化问题中有着广泛的应用价值。

（4）Vague集在医疗诊断、近似推理、系统的可靠性分析及工农业生产中有着广阔的应用前景。

但是，目前vague集理论还没有系统的理论基础，应用方法系统性不强，对于vague集的研究，需要通过对Vague集算法理论及应用的研究，减少Vague集理论研究与现实应用之间的差距；同时丰富Vague集的基本理论，扩展Vague集的应用领域，把vague集理论进一步推向实用，不断发展和完善vague集的基础理论，使其应用技术和方法系统化。给其在模式识别、信息融合、机器学习等领域的应用提供理论基础；推动

vague集理论在各行各业各领域技术工作中的更为广泛的应用，尤其是在农业、工业和军事领域中的应用，为工农业和国防服务。

2 vague集理论及其应用

2.1 vague集与fuzzy集的关系

Vague集是于1993年由Gau Wen-Lung和Buehrer Daniel J所创立的，Vague集理论是Fuzzy集理论的推广。Fuzzy集理论自1965年创立以来，经过近50年的发展，其理论相对比较完善，应用方法比较成熟，应用领域比较广泛，应用成果比较多，每年仅国内发表的论文就高达数千篇.特别是在模糊自动控制、模糊数据库检索、模糊神经网络算法等方面取得了杰出成就。Fuzzy集理论是用精确的数学语言来刻画模糊概念，用单一数值的隶属度表示元素对Fuzzy集的隶属程度。而Vague集理论是Fuzzy集理论的一种推广。在Vague集理论中，从正反两个方面考虑所讨论的对象，把一个Vague隶属度中的叫做赞成度（由支持的证据所导出的肯定隶属度的下界），fA（x）（∈[0，1]）叫做反对度（由反对的证据所导出的反对隶属度的下界），并把叫做踌躇度，例如，研究元素

（岁）对模糊集=“年青人”的隶属度，请 位代表打分，结果如表1所示。

根据模糊统计，模糊隶属度的数值为；模糊隶属度的补的数值为。在Vague集中，综合考虑这些情况：Vague隶属度为，其中表示肯定隶属度的下界；而表示反对隶属度的下界。表示弃权票。从以上描述可以看出，Vague集理论与Fuzzy集理论相比：Vague集能更直观、全面地描

述模糊信息。由于Fuzzy集理论在计算机领域的广泛应用，使人们对Vague集理论的应用前景充满信心。希望Vague集的理论不断完善，新的算法不断建立，为各个领域的应用服务。

2.2 vague集的理论研究

对于vague集的理论研究，也是近几年学术界的一个热点问题。首先是对vague集运算算子的研究，文献[3]定义了vague集的基本运算算子及关系，李凡等讨论vague集的加权模糊运算。其次，对vague集之间关系的研究，如： Bustince等提出vague集的模糊关系结构，比较它与其他模糊关系之间的区别和联系，对vague集之间的模糊关系进行研究；再者就是对vague集的理论研究由具体到抽象，如集合拓朴空间及基本理论的研究，如：闫德勤等对vague集理论进行探讨，提出了vague集的分解定理。还有就是对vague集理论进行扩展，对它们之间的相互关系进行研究，如：张江等提出统一集，针对fuzzy集、vague集、可拓集等模糊集合的特点，形成一般的表示形式，使相关或相似互补的集合算法统一起来。

2.3 vague集之间的相似度量

对于vague集之间的相似度量，也是vague集研究的一个热点，目前主要基于两种思想：一是基于vague集的真、假隶属度的差。如：Chen提出利用S函数来计算vague集之间的相似性。

另一种是基于距离测度的思想，如：Szmirlt等提出vague集之间的欧氏距离和汉明距离。石玉强等提出了相似度函数满足的公理，使得确定vague集的相似性函数有了基本依据，避免了盲目性。

2.4 Vague集的未知度的度量

vague集的隶属函数能够表示一个对象的未知度信息，同时也带来度量未知度的问题，即vague熵的度量。Vague熵的确定对vague集的比较及其特性分析有重要作用，目前，许多学者作了大量的工作，如Burilo等提出vague集的未知度――vague熵。

2.5 vague集的应用

随着计算机技术的不断发展和vague理论的不断完善，vague集的应用领域也更为广泛，下面从三个方面给出它的应用。

（1）决策领域的应用。如：将vague集应用于多目标决策，不但问题表示简洁，而且决策效果好。

（2）近似推理领域的研究。一些学者将vague集应用到近似推理领域，如：李凡等采用基于vague集的插值方法进行近似推理。

（3）其它领域中的应用。除了上述两个主要的应用领域之外，vague集在其它领域也有许多应用。如：De Kumar等通过定义vague集的模糊关系及其模糊关系的合成，将其应用在医疗诊断中。石玉强等将vague集理论应用于农业领域等。

3 结束语

vague集理论自1993年提出到现在经过二十多年的发展，许多学者提出了新的理论和方法，但还不够完善，因而制约了它在各个领域中的应用，作者认为下面几个方向值得进一步研究：

（1）vague集与fuzzy集之间的关系问题， fuzzy理论经过近50年的发展，理论比较完善，方法比较成熟，对它们之间关系的研究，定会促进vague集的发展。

（2）如何确定vague集隶属函数区间的研究。目前，确定vague集隶属函数方法主要靠专家及经验方法，带有很强的主观性，因此，研究其客观的确定方法将能扩大vague集应用的范围和效果。

（3）vague集应用领域的研究。

（4）vague集与其它软计算方法结合的研究。