数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式

（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula

若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn分别是两个实数数列或复数数列，且

Si = a1 + a2 + … + ai，i = 1，2，…，n

则

（2）均值不等式 AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality

若a1，a2，…，an是非负实数，则

…

当且仅当a1 = a2 = … = an时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况

（3）均值不等式 AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality

若a1，a2，…，an是正实数，则

当且仅当a1 = a2 = … = an时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况

（4）伯努利不等式 Bernoulli’s Inequality

对任意实数x＞ 1和a＞1，都有

( 1 + x )n

＞ 1 + ax

（5）柯西-施瓦兹不等式 Cauchy - Schwarz’s Inequality

对任意实数a1，a2，… ，an和b1，b2，，bn，有

…

…

…

当且仅当ai与bi都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n

（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals

设a，b为实数且a＜b，且f，g为 [a，b] → R的可积分函数，则

（7）切比雪夫不等式 Chebyshev’s Inequality

设实数a1≤a2≤…≤an，且b1，b2，…，bn为实数

若b1≤b2≤…≤bn，则

若b1≥b2≥…≥bn，则

当且仅当a1

= a2

= … = an，b1

= b2

= … = bn时等号取到

（8）积分形式的切比雪夫不等式 Chebyshev’s Inequality for integrals

设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] → R的可积分函数，且具有相同的单调性，则

（9）琴生不等式 Jensen’s Inequality

若f ( x )是区间 (a，b) 上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，xn∈( a，b )，都有

…

…

若f ( x )是区间 (a，b) 上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，xn∈( a，b )，都有

当且仅当x1 = x2 = … = xn时等号成立

加权形式：若f ( x )是区间 (a，b) 上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，xn∈( a，b )，且a1 + a2 + … + an = 1，有

…

…

（10）赫尔德不等式 Holder’s Inequality

设r，s为正实数，且满足

11 + = 1

rs则对任意正实数a1，a2，… ，an和b1，b2，，bn，都有

（11）惠更斯不等式 Huygens Inequality

若p1，p2，…，pn和a1，a2，… ，an和b1，b2，，bn都是正实数，且

p1 + p2 + … + pn = 1，则

（12）麦克劳林不等式 Mac Laurin’s Inequality

对任意正实数x1，x2，…，xn，都有

S1≥S2≥…≥Sn

其中

α

＜

＜…＜

…

α + β

（13）明考夫斯基不等式 Minkowski’s Inequality

对任意实数a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn，以及任意实数r≥1，有

≤

（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality

设正实数a1 + a2 + … + an = 1，则对于正数x1，x2，…，xn，定义

M -∞ = min{x1，x2，…，xn}

M∞ = max{x1，x2，…，xn}

…

…

其中t是非0实数，则有

M -∞≤Ms≤Mt≤M∞

其中s≤t

（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality

设a1，a2，… ，an为非负实数，有

…

…

当且仅当a1

= a2

= … = an，b1

= b2

= … = bn时等号取到

均方根又称为平方平均数

（16）舒尔不等式 Schur’s Inequality

对任意正数x，y，z以及r＞0，若存在关系

xr ( x y ) ( x z ) + yr ( y z ) ( y x ) + zr ( z x ) ( z y )≥0

通常情况下为r = 1，则有以下结论成立

x3 + y3 + z3 + 3xyz≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x )

xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )

1＋9xyz若x + y + z = 1，则xy + yz + zx≤

4

（17） Suranyi’s Inequality

对任意非负实数a1，a2，… ，an，都有

（18） Turkevici’s Inequality

对任意正实数x，y，z，t，都有

x4+ y4 + z4 + 2xyzt ≥ x2y2 + y2z2 + z2t2 + t2x2 + x2z2 + y2t2

（19）加权形式的均值不等式 Weighted AM - GM Inequality

对任意非负实数a1，a2，… ，an，以及w1，w2，… ，wn，且

w1 + w2 + … + wn = 1

都有

…

…

当且仅当a1

= a2

= … = an，b1

= b2

= … = bn时等号取到