关于梁的振动

关于梁的振动

结构的损伤首先表现为裂纹的出现和扩展，裂纹损伤是引起大型复杂结构破坏的主要原因之一［1］。由于早期初始微小裂纹不易被发现，容易被人们忽略，但裂纹的深入扩展往往导致重大灾难性事故的发生，诸如航空灾难、桥梁的断裂坍塌、海洋平台的倒塌、油气管线的断裂泄漏等，给国家和社会造成了巨大的损失。因此，监测并预示早期裂纹发生的位置与深度，预防重大事故发生，是损伤识别领域的一个重要研究方向。近年来，结构裂纹损伤监测与识别方法的研究引起了国内外学者的广泛关注，成为工程结构健康诊断和安全评估研究的前沿课题之一。虽然超声波、电涡流、磁粉、红外识别法等检测方法［2-3］ 在裂纹检测上取得了一定成就，但这些方法通常只适用于对静态对象的检测

2 裂纹梁结构振动分析结构中裂纹的出现引起局部刚度的改变，从而在一定程度上影响了结构整体的动力特性，导致了固有频率的降低和振型的变化，裂纹梁的振动分析对于指导裂纹识别非常有意义。裂纹梁振动分析的关键是裂纹的处理，常见处理方法有：等效降截面法［5-9］；局部柔度法［10-16］；一致裂纹梁理论［17-21］。近年来裂纹梁的非线性特征研究得到了发展［20-25］．

2.1 等效降截面法

等效降截面法是发展最早的一种方法。Kirmsh—el［5］和Thomson［6］是两位研究具有类似切口缺陷局部不连续梁振动特征的先驱，首次对局部缺陷进行了量化分析。文献[5—6]中使用局部弯矩或降截面模拟切口对结构柔度的影响，并通过试验对结果进行验证，提出了一种等效降截面法。Petroski［7-8］多次使用Kirmshen和Thomson提出的等效降截面法求解损伤梁的振动问题。Wendtland同样用切口模拟缺陷，使用了文献[5—6]提出的等效降截面法分析缺陷截面柔度，并通过试验研究比较不同几何形状及不同边界条件下裂纹梁固有频率的变化，在结论中清晰指出：等效降截面法不大适合分析真实裂纹，仅仅适合于切口的振动分析。后来许多学者把有限元分析结果与Wendtland试验进行对比，发现两者结果比较吻合，主要原因在于：他们都使用了类似的切口梁模型［4］。

当时很多学者都使用切口来模拟裂纹，通过试验、解析法以及数值方法对问题进行求解。但是使用切口模拟裂纹与实际裂纹存在着差异，无论切口厚度有多薄，都不可能具有裂纹的特性。实际上，同样条件切口产生的局部柔度小于疲劳裂纹对应的局部柔度，Silva和Gomez［9］对此进行了量化研究。

2.2 局部柔度法

荷载作用下，由于在裂纹尖端附近区域出现应变能集中，弹性结构中的裂纹引起了局部柔度的变化。早期，Irwin根据等效弹簧的概念(局部柔度)从宏观上量化荷载与裂纹尖端应力集中的关系［10］。通过测量裂纹梁局部柔度来描述应力强度集中，而且可以确定应力强度因子，成为了试验确定应力强度因子的标准方法。为了进行应力分析，Rice和Levy［11］计算了拉压和弯曲状态下的局部柔度，在局部柔度阵中考虑了两者的耦合作用。

Dimarogonas在局部柔度法方面做了很多有重要意义的工作。Dimarogonas用无质量转动弹簧模拟裂纹，依据断裂力学方法计算弹簧的等效刚度，引入了裂纹的局部柔度模型用于裂纹Euler—Bernoulli梁振动分析［12］。文献[13]提出了一种忽略扭转作用的5×5局部裂纹柔度矩阵，此矩阵不是完全的对角阵，说明考虑

了纵向和横向振动的耦合作用。文献[14—15]对含有横向裂纹的悬臂梁进行纵向，扭转，弯曲耦合振动分析，使用局部柔度阵模拟裂纹作用，确定了自由振动的前三阶模态。Papadopoulos和Dimarogonas［14-15］根据断裂力学理论提出了一个完整6×6局部裂纹柔度阵，此局部柔度阵适合任意荷载条件下裂纹Timoshenko梁的分析。这一模型被接下来的研究工作证实，成功应用于研究频率降低与裂纹特征之间的联系，推动了裂纹结构的动力分析和使用固有频率变化识别裂纹位置和尺寸的发展。文献[16]研究了矩形或圆形截面裂纹Euler—Bernoulli梁的局部柔度，取得了类似的结果。

2.3 一致裂纹梁理论

Christides和Barr［17-18］通过推导含有一条或多条对称裂纹一致Euler梁的微分方程和相应的边界条件，发展了一种一致裂纹Euler梁振动理论。Christides和Barr在文献[17—18]中对应力，应变，位移进行积分完成了一维缩减，通过局部经验函数实现了裂纹引起的应力场修正。其中局部试验函数假设：应力场指数随着与裂纹间距离增大发生衰减，必须通过试验才能评定参数。Christides和Barr［17］试验研究了裂纹梁的振动特性，试验中用切口模拟裂纹，结果发现：随着裂纹深度的增加，一阶固有频率的变化值与理论预测值吻合。Shen和Pierre［19］使用两维有限元方法对文献[17— 18]理论进行验证，结论指出：理论值与有限元结果是吻合的。然而，裂纹应力场指数项的假设及需要试验确定应力场指数限制了该方法的应用。根据已有的断裂力学方法，Chondros等［20］推导了基于位移场裂纹梁的横向振动的解析表达式，发展了适合分析Euler—Bernoulli裂纹梁横向振动的一致裂纹梁振动理论，为了验证该理论，用含有疲劳裂纹的铝梁进行试验，发现实验结果与理论计算非常接近。在此理论基础上，Chondros等［21］研究呼吸(breathing)型裂纹简支梁横向振动问题，发展了裂纹梁双线性动力问题的解析方法。相对等效降截面法及局部柔度法，一致裂纹梁理论更适合进行扩展模态、变边界条件的振动分析，以及横向和扭转耦合振动问题的求解。对于裂纹结构振动分析，一致裂纹梁理论将是一种非常有用的工具。目前，一致裂纹梁理论仍有很大的发展空间。

2.4 裂纹的非线性研究

为了避免分析非线性特征带来的复杂性，多数研究者在他们的工作中假设：振动过程中裂纹始终是张开的。这种假设使得他们提出的方法局限于分析线性现象，而实际裂纹并不是一直处于张开状态，是一种周期性张开一闭合的非线性过程。文献[22]指出：闭合型裂纹梁的固有频率介于无损梁和同等参数张开型裂纹梁之间，所以假设的张开型裂纹模型不适合用来确定呼吸(breathing)裂纹固有频率的变化。为了认识裂纹的实际行为，学者们进行了裂纹的非线性特征研究［21-27］，Chondros等［21］利用呼吸裂纹梁系统的双线性特征，基于一致裂纹梁振动理论预测含有呼吸裂纹简支梁横向振动的变化。Sundermeyer和Weaver［24］讨论了裂纹梁振动的微弱非线性特征，并利用此特征进行裂纹位置，深度以及裂纹张开荷载的识别。Pugno等［26］根据周期性响应和裂纹连续张开、闭合的假设，定义非线性系统的代数方程，采用迭代求解方法，计算简谐荷载激励下横向呼吸多裂纹梁的动力响应。罗跃纲等［27］研究了带有裂纹和碰摩耦合故障的弹性转子系统的运动特性，给出了系统的动力学模型，并对该系统的非线性动力学行为进行了数值模拟。研究裂纹结构的非线性行为，对实际工程具有十分重要的意义，

尤其是对于裂纹识别方法的应用。通过对结构的预前加载情况进行分析，辨识其裂纹类型：张开型或呼吸型，从而选用合适的方法识别裂纹。如果利用假设的张开型裂纹模型解释疲劳呼吸裂纹的振动测量将导致不正确的结论。

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