矢量光束的紧聚焦特性研究论文

Classified Index: O438

U.D.C.: 535

Dissertation for the Master Degree in Science

RESEARCH ON THE TIGHTLY FOCUSING

PROPERTY OF VECTOR BEAMS

Candidate：

Supervisor：

Academic Degree Applied for：

Specialty：

Affiliation：

Date of Defence：

Liu Zhengtao

Associate Prof. Xin Lin

Master of Science

Optics

Department of Physics

July 3, 2010

Degree-Conferring-Institution：

Harbin Institute of Technology

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

摘 要

光有许多重要的性质，偏振就是光所具有的重要性质之一。偏振光同物质之间的相互作用在很多领域都有非常重要的应用，比如说数据储存、光通信、材料加工和生物研究。一般说来，光可以分为均匀偏振光和非均匀偏振光。常见的线偏振光，圆偏振光和椭圆偏振光都是均匀偏振光。非均匀偏振光是指偏振态与传播面上的空间位置相关的光。以往大多数的科研中，我们关注了均匀的偏振光，但近年来由于非均匀偏振光独一无二的性质和潜在的应用价值让越来越多的人开始对非均匀偏振光产生了兴趣。矢量光束就是其中的一种，尤其是偏振态在传播面上呈现出轴对称性的光束，即轴对称矢量光束。

本论文主要讨论了如何通过改变轴对称矢量光束的基本性质(偏振态、振幅和相位)达到调控紧聚焦光场强度的目的。

我们介绍轴对称矢量光的概念以及它的分类和主要的特点。由于在高数值孔径透镜聚焦的条件下，Huygens-Fresnel原理不再适用，所以接下来我们介绍了Richards-Wolf矢量衍射积分模型，以及切趾函数的概念，最后给出广义轴对称矢量光在焦点附近光强的积分表达式。

用数值模拟的方法，我们分析了通过DOE部分改变偏振态的轴对称矢量光的紧聚焦特性。我们发现，通过调控入射光的位相可以让焦点处的光强为零或者得到更长的焦深、更小的焦斑。最终，我们获得了一维、二维和三维的平顶型光场分布。同时，我们还对切趾函数的影响进行了分析。

对于包含多种偏振模式的轴对称矢量光的紧聚焦特性，我们也进行了研究，并且利用径向偏振光、角向偏振光和广义轴对称偏振光不同的聚焦特性在焦点附近产生光泡和光学笼子。

关键词：轴对称矢量光束；Richards-Wolf矢量衍射积分模型；平顶型光场分布；光泡；光学笼子

- I -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

Abstract

There are many important properties of light, and polarization must be one

of these properties. The interaction with materials of polarized light has

significant application in lots of scopes, such as data storage, optical

communication, material processing and biological studies. Generally speaking,

light can be divided into light with spatially homogeneous status of polarization

and spatially inhomogeneous status of polarization. It is familiar to us that light

with linear, circular and elliptical polarization is homogeneous. The in-homogeneous status of polarization depends on the special position in the cross

section of propagating beams. In the past researches, we have given much

attention to the homogeneous, but because of the unique property and latent

value, more and more people pay their attention on the inhomogeneous. Vector

beams are of the inhomogeneous, particularly with cylindrical symmetry in

polarization, that is cylindrical vector (CV) beams.

This thesis describes how to change the fundamental character of the CV

beams (the polarization, the amplitude and the phase) to modify the energy

density of light field.

We introduce the concept of CV beams, their sorts and main feature.

The

Richards-Wolf vector diffraction integral model is to be introduced, since Huygens-Fresnel principle is not suited to tightly focusing by high-NA focusing leans. And

then we give the concept of the apodization function and the integral formula of

generalized CV beams.

We utilize diffractive optical element (DOE) to partly change the

polarization of CV beams, and study the energy density of light field in the

vicinity of focus by

the numerical analysis. We find that long focal depth and

smaller focal spot can be obtained by changing the phase of beams. At last, we

succeed to get 1D, 2D and 3D flat-top

energy density of light field. By the way, the

effect

from the apodization function will be discussed.

The property of various model CV beams will be studied. Optical cages and

optical bubbles can be got around the focus according to the character of radially

polarized beams, azimuthally polarized beams and generalized CV beams

- II -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

focused by high-NA lens.

Keywords: CV beams; the Richards-Wolf vector diffraction integral model; the

flat-top

energy density of light field; optical cages; optical bubbles

- III -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

目 录

摘 要 ........................................................................................................................... I

Abstract ....................................................................................................................... II

第1章 绪 论 ............................................................................................................ 1

1.1 轴对称矢量光 ................................................................................................... 1

1.1.1 轴对称矢量光的基本概念 ........................................................................ 1

1.1.2 轴对称矢量光的紧聚焦 ............................................................................ 2

1.2 国内外在该方向的研究现状及分析 ............................................................... 3

1.2.1 理查德沃尔夫模型 .................................................................................... 3

1.2.2 光束的角动量 ............................................................................................ 4

1.2.3 非均匀偏振光束的紧聚焦特性 ................................................................ 5

1.3 论文主要研究内容 ........................................................................................... 7

第2章 紧聚焦的基本理论 ........................................................................................ 8

2.1 切趾函数 ........................................................................................................... 8

2.1.1 正弦条件 .................................................................................................. 10

2.1.2 亥姆赫兹条件 .......................................................................................... 10

2.2 理查德沃尔夫矢量衍射理论 ......................................................................... 11

2.3 轴对称矢量光的紧聚焦理论 ......................................................................... 16

2.3.1 径向偏振光 .............................................................................................. 17

2.3.2 角向偏振光 .............................................................................................. 19

2.3.3 广义轴对称偏振光束 .............................................................................. 19

2.4 本章小结 ......................................................................................................... 20

第3章 平顶型光场分布的形成 .............................................................................. 21

3.1 一维平顶光场的形成 ..................................................................................... 21

3.2 二维平顶光场的形成 ..................................................................................... 25

3.3 三维平顶光场的形成 ..................................................................................... 28

3.4 本章小结 ......................................................................................................... 33

第4章 可调控光镊的形成 ...................................................................................... 34

4.1 径向偏振光在光镊方面的应用 ..................................................................... 34

4.2 轴对称矢量光在光镊方面的应用 ................................................................. 37

- IV -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

4.2.1 两种偏振模式的轴对称矢量光 .............................................................. 37

4.2.2 三种偏振模式的轴对称矢量光 .............................................................. 40

4.3 本章小结 ......................................................................................................... 47

结 论 ........................................................................................................................ 48

参考文献 .................................................................................................................... 49

哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 ............................................................ 53

哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 ............................................................ 53

致 谢 ........................................................................................................................ 54

- V -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

第1章 绪 论

光学是研究光的物理行为和物理性质，以及光怎样和物质相互作用的物理学科。光是电磁波的一种，而电磁波可以用麦克斯韦方程组描述；再者，光既是粒子也是波，它具有波粒二象性，需要用量子力学来描述。从惠更斯的次波叠加原理到麦克斯韦方程组，再到爱因斯坦的光量子理论，光学经历了巨大的变化。

1.1 轴对称矢量光

1.1.1 轴对称矢量光的基本概念

光有许多重要的性质，偏振是光所具有的重要性质之一。在数据储存、光通信、材料加工和生物研究中偏振光起到了很重要的作用。偏振光是光矢量的振动方向不发生变化或者具有某一种特定规则变化的光束。一般来说，偏振光可以分为均匀偏振光和非均匀偏振光。均匀偏振光指的是在光束的横截面上光的偏振状态不随空间分布变化的偏振光，常见有线偏振光（平面偏振光）、圆偏振光、部分偏振光和椭圆偏振光等；非均匀偏振光的偏振态相对来说要比均匀偏振光复杂，其主要特点是它的偏振状态在光束的横截面上随着空间分布发生变化。

线偏振光、圆偏振光、部分偏振光和椭圆偏振光都是偏振状态在横截面上不随空间分布发生变化的均匀偏振光。同时，在以往的科学研究中我们也仅仅关注了在空间有均匀分布的偏振光，但是，近些年由于非均匀偏振光许多有趣的性质和潜在的应用价值越来越多的人对非均匀的偏振光产生了兴趣。

矢量光束就是这样的一个例子。矢量光束是一种非均匀的偏振光，它在光束的横截面上每一点的偏振状态不尽相同，并不是均匀分布的。

矢量光束中最为特殊的就是一种偏振态在横截面上呈轴对称分布的光束，即轴对称矢量光束(Cylindrical vector beams, CV beams)。轴对称的矢量光是非均匀偏振光的一种，它实际上是亥姆赫兹方程在柱坐标系下的特征解，因为原点处偏振态的不确定导致原点处光强为零，即存在奇点。轴对称矢量光有径向偏振光(Radially polarized beams)、角向偏振光(Azimuthally

- 1 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

polarized beams)和广义轴对称偏振光(Generalized CV beams)等等。这些光束可以通过主动[1-8]和被动的方法产生[9-22]。径向偏振光是偏振方向在横截面上沿着径向的偏振光；角向偏振光是偏振方向在横截面上垂直于径向的偏振光；广义轴对称偏振光是偏振方向在横截面上呈轴对称且同径向保持φ夹角的偏振光。如图1-1所示：

a) b)

φ

c)

图1-1 轴对称矢量光的瞬时电矢量空间分布图：a)径向偏振光；b)角向偏振光；c)广义轴对称向偏振光

Fig. 1-1 Schematic of the spatial distribution of instantaneous electric vector for CV beams:

a) radially polarized beams; b) azimuthally polarized beams; c) generalized CV beams

1.1.2 轴对称矢量光的紧聚焦

经过高数值孔径透镜的聚焦（紧聚焦）之后，光束的矢量性质将发生变化[23,24]。在紧聚焦条件下，径向偏振光会在光轴上的焦点附近形成很强的轴向向光场[25-28]；而角向偏振光将依旧保持空心的强度分布，与此同时各处- 2 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

的偏振方向保持不变[29]；广义轴对称偏振光束经过高数值孔径透镜聚焦之后可以形成平顶的光强分布[30]。圆偏振的涡旋光束在紧聚焦的条件下可以实现轨道角动量和自旋角动量的相互转换[31]。

这许多新奇的特征使得轴对称矢量光在很多方面发挥着极其重要的作用，比如电子加速[32]，平板印刷[33]，光学捕捉和控制[34,35]，显微镜，频率位移[36]，材料加工和高分辨测量等等。尤其是在光镊中的应用受到越来越多的重视，因为此项技术可以用于观察纳米微粒，构建近场光学显微镜，另外还可以捕捉、控制单个细胞和染体，我们可以断言此项技术对于细胞内图像研究而言开辟了一个全新的科研方法。用高数值孔径透镜聚焦之后的径向偏振光用作光镊可以捕捉金属瑞利微粒，研究表明在三维空间中金属微粒可以被稳定的捕捉。而研究自旋角动量和轨道角动量之间的转换问题有助于人们对光的基本性质的研究。

1.2 国内外在该方向的研究现状及分析

1.2.1 理查德沃尔夫模型

1959年B. Richards和E. Wolf 提出了光束经过高数值孔径透镜聚焦之后在焦点附近光场分布的一种模型，即理查德沃尔夫(Richards-Wolf )模型。此模型是严格的矢量衍射理论在一定条件下近似得到的结果，适合描述距离出射光瞳的距离远远大于波长处的光场分布情况[37,38]。

根据Huygens-Fresnel原理，当光波行进的时候，某一时刻的波前上的任何一点都可以看做是新的点波源，称之为次波源。以这些次波源为中心，它们将各自辐射球面波，这些球面波的切线所组成的包络面则是下一时刻的波阵面。同Huygens-Fresnel原理相同，Richards-Wolf 模型也引用了次波的概念。这是两种模型极其相似的一点。但是，根据惠更斯菲涅尔原理衍射场中的任意一点处的光场强度时波前上每一个次波源所发出的球面波的矢量叠加，而根据Richards-Wolf 模型，衍射场中任意一点的光场强度是波前上每一个次波源所发出的平面波的矢量叠加，平面波传播的方向垂直于波前的切线方向。实际上，无论是惠更斯菲涅尔原理还是Richards-Wolf 矢量叠加原理都是从麦克斯韦方程组出发，经过不同程度的近似得来的，只不过两种原理各自的适用范围不一样而已。惠更斯菲涅尔原理和Richards-Wolf 矢量叠加原理的示意图如图1-2所示。

- 3 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a) b)

图1-2次波叠加原理的示意图：a) Huygens-Fresnel原理；b) Richards—Wolf 叠加原理

Fig.1-2 Schematic of wavelet superposition principle: a) Huygens-Fresnel principle；b)

Richards—Wolf vector superposition

1.2.2 光束的角动量

光子的角动量可以分为轨道角动量和自旋角动量。

Poynting 论述了光束角动量的力学性质[39]。Beth 于1936年首先从实验上证实了光束的自旋角动量和它的偏振态有关[40]。光子自旋角动量为ћ，在光束的传播方向上可以投影为–ћ或者+ћ，这取决于光束的偏振态。左旋圆偏振光和右旋圆偏振光是光的两种本证偏振态，其他的偏振态都可以分解为左旋圆偏振态和右旋圆偏振态的叠加。

光束除了具有自旋角动量以外还有轨道角动量，且轨道角动量于光束横截面内相位分布有密切的关系。Allen 等人与1992年指出，如果某一光束具有exp(imθ)形式的相位因子，那么光束中每个光子都具有轨道角动量mћ，其中m就是所谓的拓扑荷，也就是轨道角动量量子数[41]。具有轨道角动量的光束在很多领域都有重要的应用。至今为止，一般有两种光束包含轨道角动量，也就是说含有exp(imθ)形式的相位因子，一种是涡旋光束，例如拉盖尔高斯光束和贝塞尔高斯光束；另一种是复杂光束，例如散椭圆光束。

用具有角动量的光束捕捉到的宏观颗粒同时具有自旋角动量和轨道角动量[42,43]。这里所谓宏观颗粒的自旋角动量和轨道角动量分别指的是微粒绕着自己的主轴旋转和围绕光轴旋转。一般认为当光束在均匀的各向同性介质中- 4 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

传播的时候，光束的自旋角动量和轨道角动量是相互独立的，并且认为他们之间是不会有转换的。只有当光束同非均匀的各向异性的介质相互作用是，自旋角动量和轨道角动量的转换才会发生。但是2007年赵逸琼等人发现将圆偏振的涡旋光束通过高数值孔径透镜的紧聚焦之后，即使是在均匀的各向同性的介质中传播的光束依然可以发生自旋角动量和轨道角动量之间的转换。正如赵逸琼等人指出光束通过高数值孔径透镜聚焦之后可以改变其矢量性质还可以致使光子的自旋角动量和轨道角动量发生转换[31]。通过一个高数值孔径的透镜聚焦之后在入射圆偏振光束的自旋角动量可以部分的转换为轨道角动量。

2008年张志明、蒲继雄和王喜庆等人研究了贝塞尔—高斯光束在紧聚焦条件下相位和轨道角动量的分布情况[44,45]。通过描绘等相位线图，张志明等人发现在焦平面内的圆边沿位错会在偏离焦平面的其他平面内转变为旋转波前位错。同时，他们还分析了当紧聚焦透镜的数值孔径发生变化是焦平面内的等相位线分布和轨道角动量分布也会发生相应的变化。轨道角动量会随着数值孔径NA的增大而增大。同时，研究表明，充分利用涡旋光束的轨道角动量性质的最佳位置应该在焦平面附近。

1.2.3 非均匀偏振光束的紧聚焦特性

K. S. Youngworth、T. G. Brown于2000年给出了角向和径向偏振光紧聚焦条件下焦点附近光强分布，做了相应的模拟[29,30]如图1-3和图1-4所示。

图1-3角向偏振光经过NA=0.8的数值孔径透镜聚焦后的光场分布情况

Fig. 1-3 The electric energy density of azimuthally polarized beams focused by high-NA

objective lens, NA=0.8

- 5 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a) b)

c)

图1-4径向偏振光经过NA=0.8的数值孔径透镜聚焦后的光场分布情况：a) 径向成分；b) 轴向成分；c) 总强度

Fig. 1-4 The electric energy density of radially polarized beams focused by a high-NA

objective lens, NA=0.8: a) radial component; b) azimuthal component; c) the total electric

energy density

从图1-3和图1-4中可以看出，角向偏振光束紧聚焦之后在焦点附近仅有角向成分，且在焦点附近形成暗心结构；径向偏振光束紧聚焦之后在焦点附近的光场只有径向成分和轴向成分，而没有角向成分，并且在焦点处光强达到最大值。值得注意的是径向偏振光紧聚焦之后的光场主要分布之光轴上，并且有很强的轴向分量。

L. Rao等人通过改变入射光束的涡旋性质已达到改变高数值孔径透镜焦- 6 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

点附近光场的目的[46]。2008年，H. F. Wang, L. P. Shi, B. Lukyanchuk, C.

Sheppard和 C. T. Chong 利用衍射光学器件改变入射光的偏振状态已达到改变焦点附近光场分布情况[47]。正是它们在紧聚焦之后的这许多新奇的特征使得矢量光在很多方面发挥着极其重要的作用。

1.3 论文主要研究内容

本论文主要围绕在紧聚焦条件下轴对称矢量光束的聚焦特性来展开，详细论述光束的聚焦理论以及它的某些特殊的应用。本论文主要研究内容如下：

在第二章中我们将详细讨论在紧聚焦条件下矢量光束如何聚焦的理论基础及相关知识。第三章中将研究如何通过改变径向偏振光和广义轴对称偏振光的偏振态和相位达到整形焦点附近光场的目的。希望能在焦点附近形成一维或者多维的“平顶”光场分布。第四章中将介绍光镊的概念，然后讨论如何在紧聚焦条件下形成可调控的光镊。

- 7 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

第2章 紧聚焦的基本理论

高数值孔径会对入射光束进行强汇聚，即紧聚焦，此时，惠更斯菲涅尔原理已经不适用了。因为在傍轴近似的条件下，透镜的数值孔径相对来说要小一些，可以忽略光线的变迹(即切趾)和像差等效应。当透镜的数值孔径较大时这些效应就不能忽略，就应该加以考虑了。此时，我们可以用Richards-Wolf 模型所给出的矢量衍射理论给出焦点附近的光束特性。本章将介绍光束在高数值孔径透镜聚焦的情况下的理论模型，以及相关理论。

2.1 切趾函数

高数值孔径透镜聚焦系统的几何示意图如图2-1所示。

P(r)rP(θ)yxzθMf

图2-1高数值孔径透镜聚焦系统的几何示意图

Fig. 2-1 Schematic of the focusing set-up by a high-NA objective lens

如上图所示，设P(r)为透镜的光瞳函数。一般来说，如果光束的波前是平面波的形式经过透镜后在理想的条件下会呈球面波前。此时，球面波前的光场分布可以表示为汇聚角θ的函数，即P(θ)。其中，P(θ)我们称之为切趾函数。

切趾函数又被称作变迹函数，它与光瞳函数一样，都是描述透镜系成像的重要参数。所不同的是，横向平面内的光线密度分布情况由光瞳函数P(r)给出；经过透镜后，汇聚波前内的光线密度分布情况由切趾函数P(θ)给- 8 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

出。实际上，当透镜的数值孔径比较低的情况下，会聚前的光线密度分布情况近似的等于会聚后的球面波前的光线密度分布，即P(r)≈P(θ)。然而，当在透镜的数值孔径比较大的情况下，也就是紧聚焦的情况下，P(r)和P(θ)之间的差别就不能忽视了。

首先，由图2-1可知，半径r的入射光满足

r=g(θ)f (2-1)

其中g(θ)我们称之为入射函数，它描述了光线如何从透镜前平面入射，然后经过透镜会聚之后的波前分布情况。

还未经过透镜的入射光场的振幅由P(r)描述，那么在r处的入射光场的能量为P2(r)dS0。其中dS0为入射光束在透镜前平面上的无限小面元。相应的我们定义dS为经过透镜之后光束在会聚波前上的无限小的面元。经过透镜的会聚作用之后，会聚波前的振幅为P(θ)，相应的出射光场的能量就变为P2(θ)dS。由图2-1中的几何关系我们可以得到dS0和dS的具体表达式如下：

dS0=2πrdr (2-2)

dS=2πf2sinθdθ (2-3)

又根据公式(2-1)，我们可以得到：

dr=g'(θ)fdθ (2-4)

其中g'(θ)是g(θ)对θ求导后的导数。

由于光束的能量守恒，因此我们得到：

P2(θ)dS=P2(r)dS0 (2-5)

将公式(2-2)和(2-3)代入公式(2-5)则有：

P2(θ)2πf2sinθdθ=P2(r)2πrdr (2-6)

化简：

P2(r)rdr (2-7)

P(θ)=2fsinθdθ2再将公式(2-4)代入(2-7)，则有：

P2(θ)=P2(r)P(θ)=P(r)g(θ)g'(θ) (2-8)

sinθg(θ)g'(θ) (2-9)

sinθ公式(2-9)是对任何透镜都成立的。

针对不同用途和不同目的，各种透镜的设计业不相同。因此，入射函数- 9 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

g(θ)是不尽相同的。

2.1.1 正弦条件

相对于大部分的透镜而言，在设计透镜的过程中都遵循正弦条件，即是入射函数满足：

g(θ)=sinθ (2-10)

将公式(2-1)代入(2-10)，则有：

r=sinθf (2-11)

公式(2-11)表达的意义是成像系统物空间的任何一条光线同像空间中相应的那条光线在同一高度。

实际上，我们说透镜遵从正弦条件是指，此透镜的光轴附近物空间的小块区间能被清楚地成像，能保证横向二维空间的不变性。一般来说，我们把满足这种条件的成像系统称之为消球差成像系统。对于现在的大多数透镜而言，在设计的过程中都满足正弦条件，因此入射函数满足公式(2-10)。

将公式(2-10)代入(2-9)，得到：

P(θ)=P(r)cosθ (2-12)

将光瞳函数P(r)取为1的时候，切趾函数为：

P(θ)=cos2θ (2-13)

1122.1.2 亥姆赫兹条件

亥姆赫兹条件也叫做正切条件，相应的入射函数为：

g(θ)=tanθ (2-14)

将公式(2-14)代入(2-1)，则有：

r=tanθf (2-15)

公式(2-15)表达的意义是所成的像是理想的没有扭曲。

将公式(2-14)代入(2-9)，则有：

1P(θ)=P(r) (2-16)

cosθ将光瞳函数P(r)取为1的时候，切趾函数为：

P(θ)=cos−1.5θ (2-17)

我们可以看出当透镜的数值孔径角比较小的时候，也就是θ较小的时候- 10 -

3

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

正弦条件和亥姆赫兹条件下的切趾函数趋于相同，他们之间的差别是可以忽略的。因为

limcosθ=1θ→03 (2-18)

1lim=1θ→0cosθ除了正弦条件和亥姆赫兹条件以外，还有拉格朗日条件(均匀入射条件)和赫谢尔条件等。

由于大多数透镜都遵从正弦条件，因此在本论文今后的篇幅中如未作特殊声明都采用正弦条件，切趾函数取公式(2-13)的形式。

2.2 理查德沃尔夫矢量衍射理论

光束经过高数值孔径透镜聚焦之后的强度分布可以用Richards-Wolf 矢量衍射理论描述。它是从麦克斯韦方程组出发经过一定条件的近似得到的结果，是适合于描述高数值孔径透镜聚焦之后焦点附近的光场分布。

我们考虑线偏振的光束入射到消球差的高数值孔径透镜的情况。透镜聚焦系统的几何示意图如图2-2所示：

g0e0sg1e1yxrθαzW图2-2 高数值孔径透镜聚焦示意图

Fig. 2-2 Schematic of the focusing set-up by a high-NA objective lens

方向，g和物空间光线前进的方当光束入射时，它的偏振方向沿着e00在子午面内，如图2-2所示。s是光线在像空间的传向垂直，沿着径向且g0也在子午面内但垂直于像空间光线前进的方向，从播方向的单位矢量。g1- 11 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

垂直于s。原点在焦点，z为光轴的方向，从物空间指光线指出，也就是g1为笛卡尔直角坐标系x轴、y相同。我们以向像空间；x轴的方向同ei,j,k0轴和z轴的单位矢量。

由于光线经过透镜的折射之后，电矢量的振动方向，也就是偏振方向和子午面的夹角不发生变化。同时，出射光瞳附近光场的矢量振幅是有能量守恒定律和正弦条件共同决定。

根据文献[40,41]入射光瞳的地方Q(x,y,z)处的电矢量可以表示为：

ike(x,y,z)=a(sx,sy)expik(sxx+syy+szz)dΩ (2-19)

−∫∫2πΩ其中，

k=2πλ，dΩ=dsxdsysz (2-20) ，a=fl1e1为光传播的方向的单位矢k为真空中的波数，λ为真空中的光波波长。s量，sx,sy,sz为其分量形式。Ω是出射光瞳的立体角。a表示电场不受扰动电矢量的矢量振幅，l振幅因子，f为焦距。

的强度因子，e11波前W为像空间的聚焦球面，球心在o点，半径为f，即透镜的焦距。由于透镜满足正弦条件，则有

r=sinθf (2-21)

考虑进入r到r+dr这一窄带的光线。我们用dS0表示这一区域的面积，用dS1表示像空间内在波前W上相应区域的面积。用e0和e1表示在dS0和dS1区域上电矢量的矢量振幅。因此，我们得到：

 (2-22)

e0=l0e0，e1=l1e1e0和e1是e0和e1方向的单位矢量，l0和l1是振幅因子。e1就是光线在像空间的偏振方向。

根据能量守恒定律，我们有：

l12dS1=l02dS0 (2-23)

根据几何知识易得：

dS1=dS0cosθ (2-24)

将公式(2-22)代入(2-20)，则有：

l1=l0cos2θ (2-25)

因此，将公式(2-25)代入(2-20)中的第三公式，则有：

1 (2-26)

a=fl0cos2θe1分解，由图2-2可知：

为确定像空间偏振的方向，首先将e1- 12 -

1

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

+γg (2-27)

×se=ξg11122ξ和γ是两个分解常数并且，ξ+γ=1。由于光线经过透镜的折射之后，电()矢量的振动方向，也就是偏振方向和子午面的夹角不发生变化。所以有：

g0e0=g1e1 (2-28)

g×ke0=g1×se10和g分别点乘公式(2-28),得到：

×s用g()()1(1)γg==1e1×sξ=g1eg00()=g×kee100() (2-29)

相同，于是：

又x轴的方向同e0γ=ig0

 (2-30)

jg0ξ=g0×ki=k×ig0=()()1因此，将公式(2-29)代入(2-26)得到：

=ejg10(+×sg)(g)(ig) (2-31)

01将公式(2-30)代入(2-25)，则有：

 (2-32)

+a=fl0cosθjg0g×sigg101()()()在这里，我们引入球坐标(r,θ,φ)。原点在焦点，x轴的方向就是φ=0的方向，也就是偏振方向；z轴的方向就是极轴的方向，也就是θ=0的方向。的表达相应的像空间中任何一点 Q(x,y,z) 的坐标和像空间光线传播的方向s式如下：

xy=zrqsinθqcosϕqrqsinθqsinϕq=,scosθrqqsxsy=szsinθcosϕ (2-33)

sinsinθϕcosθ那么，公式(2-19)中的指数可以表示为：

rqκxsx+ysy+zsz= (2-34)

cosθcosθq+sinθsinθqcos(ϕ−ϕq)κ=,g在球坐标系下的坐标。为看清g,g和s之间用(θ0,φ0)和(θ1,φ1)表示g0101- 13 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

的位置关系，作图2-3以助理解。

zsg1θϕyθ1ϕ1x

位置关系图

和s图2-3

g1

 and

sFig. 2-3 Schematic of the position of

g1由图2-2和图2-3，我们很容易得到：

θ0=π,θ=π−θ1,ϕ1==ϕ0ϕ−π (2-35)

因此：

sinθ1cosϕ1=sinθsinϕ=

g111cosθ1−cosθcosϕ−cossinθϕ，g0=sinθsinθ0cosϕ0sinsinθϕ00=cosθ0−cosϕ−sinϕ (2-36)

01212那么：

−sinϕ (2-37)

×s=，，gi=−cosϕgj=−sinϕgcosϕ0010将公式(2-33)、(2-36) 和(2-37)代入(2-32)，则有：

fl0cos2θcosθ+sin2ϕ(1−cosθ)1 (2-38)

afl0cos2θcosθ−1)sinϕcosϕ(1−flcos2θsinθcosϕ01- 14 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

再者，

=dΩdsxdsy=sinθdϕdθ (2-39)

sz我们将公式(2-33)、(2-37)和(2-38)代入公式(2-19)，则有：

α2π1iB2−∫dϕ∫cos2θsinθ+cossinexp(ikrqκ)dθθϕ(1−cosθ)ex=π00α2π1iB2=−dcosϕθsinθ(cosθ−1)sinϕcosϕexp(ikrqκ)dθey∫∫ (2-40)

π00α2π1iB22ez=dcossinϕθθcosϕexp(ikrqκ)dθ∫∫π00=Bkfl0πfl0 (2-41)

=2λα是像空间中焦点对透镜仰角的一半，如图2-2所示。

因为

2πnϕηπrJn(r)cosnηicos2i−=()∫sinnϕexp0 (2-42)

2πcosnϕexpircosϕ−η=nπJn(r)sinnη2i()∫0Jn(r)是n阶的第一类贝塞尔函数。

我们运用公式(2-41)和一些简单的三角函数关系式，就可以得到像空间任意点Q的电矢量表达式：

ex=−iB(I0+I2cos2ϕq) (2-43)

ey=−iBI2sin2ϕqez=−2BI1cosϕq其中

I0=I0(krq,θq,α)α=∫cos012θsinθ(1+cosθ)J0(krqsinθsinθq)exp(ikrqcosθcosθq)dθ (2-44)

- 15 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

I1=I1(krq,θq,α)=∫cosθsinθJ1(krqsinθsinθq)exp(ikrqcosθcosθq)dθ12α2 (2-45)

0I2=I2(krq,θq,α)=∫cosθsinθ(1−cosθ)J2krqsinθsinθqexpikrqcosθcosθqdθ0α12()() (2-46)

2.3 轴对称矢量光的紧聚焦理论

B. Richards 和E. Wolf 给出了矢量衍射理论，并推导出线偏振的光束的近聚焦情况。K. S. Youngworth 和 T. G. Brown于2000年给出了径向偏振光束和角向偏振光束在紧聚焦条件下焦点附近光场分布情况。

他们的聚焦系统几何示意图如下：

g0kg1syxozrαθOf图2-4聚焦系统几何示意图

S

Fig. 2-4 Schematic of the tightly focusing set-up

其中0平面是整个光学系统的入射光瞳，S平面是焦平面，其余同Richards-Wolf 矢量衍射理论中的表示相似。

的表达式如下：

在直角坐标系下g0=g−cosϕi−sinϕj (2-47)

0- 16 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

在z=0平面的投影和x轴的夹角。

ϕ表示g0在子午面内，垂直于光轴且沿着径向方向，即径向方向的单位矢量g0。k表示z轴的方向，那么角向方向的单位矢量就可以表示为：

r=g×k (2-48)

ϕ0因此，入射光瞳处的电场矢量就可以表示为：

=ξg=ξϕ+γr×k+γg (2-49)

e0ξ，γ是两个分解常数，并且ξ+γ=1。

22(0)0由于光线经过透镜的折射之后，电矢量的振动方向，也就是偏振方向和子午面的夹角不发生变化。所以有：

+γg (2-50)

×s=ξge1(1)1根据Richards-Wolf 矢量衍射理论

ikik(sxx+syy+szz)dΩ (2-51)

e=aexp−∫∫2πΩ其中

 (2-52)

=fl(θ)cosθξ+γ=afl0cosθeg×sg1011根据公式(2-37),则有：

= (2-53)

g−cosθcosϕi−cosθsinϕj+sinθk1()类似于B. Richards 和E. Wolf 的做法，我们在此引入柱坐标系(ρ,φ,z)，于是

xy=zρqcosϕqρqsinϕq=,szqsxsy=szsinθcosϕ (2-54)

sinθsinϕcosθ所以公式(2-51)积分中的指数部分可以表示为

=sxx+syy+szzρqcosϕqsinθcosϕ+ρqsinϕqsinθsinϕ+zqcosθ=zqcosθ+ρqsinθcos(ϕq−ϕ)(2-55)

2.3.1 径向偏振光

当径向偏振光入射时，也就是入射光只有径向成分没有角向成分，相应的公式(2-49)中ξ=0，而γ=1。同时将公式(2-36)和(2-55)代入，于是公式(2-- 17 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

51)变为：

e−cosθcosϕ2παx1iB2er=elkdsincosexpicossinϕθθθζθϕ=−−()()0y∫∫dθ (2-56)

π00sinθez其中ζ=zqcosθ+ρqsinθcos(ϕq−ϕ)

直角坐标系和柱坐标系的坐标变换示意图如图2-5所示。

yeϕeyϕoexeρx

图2-5 坐标分解图

Fig. 2-5 Schematic of the vector coordinate transform

通过上面的示意图我们很容易得出：

=eρexcosϕq+eysinϕq (2-57)

−exsinϕq+eycosϕqeϕ=将公式(2-57)代入(2-56)就得到e在柱坐标系下的表达式：

−cosθcos(ϕ−ϕq)eρπα21iB2dϕ∫sinθcosθl0(θ)exp(ikζ)0er=eϕ=−dθ (2-58)

∫π00esinθz根据公式(2-42)，则有：

sin(2θ)J1(kρqsinθ)eρα12er=eϕ=−B∫cosθl0(θ)exp(ikzqcosθ)0dθ (2-59)

02e2isinθJkρsinθ)z0(q- 18 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

从上式可以看出，当入射光束是径向偏振光的时候，焦点附近的光场只有径向和轴向成分，没有角向成分，正如图1-4所示。

2.3.2 角向偏振光

当径向偏振光入射时，也就是入射光只有角向成分没有径向成分，相应的公式(2-48)中ξ=1，而γ=0。同时将公式(2-35)和(2-54)代入，于是公式(2-50)变为：

e−sinϕ2παx1iB2eϕ=e=−−dϕsinθcosθl0(θ)exp(ikζ)cosϕy∫∫dθ (2-60)

π000ez我们将公式(2-56)代入(2-59)就得到e在柱坐标系下的表达式：

0eρπα21iB2−∫dϕ∫sinθcosθl0(θ)exp(ikζ)cos(ϕ−ϕq)dθ (2-61)

eϕ=eϕ=π00ez0根据公式(2-41)，则有：

0eαρ1=eϕ=eϕ2B∫sinθcos2θl0(θ)exp(ikzqcosθ)J1(kρqsinθ)dθ (2-62)

0ez0从上式我们可以看出，当入射光束是角向偏振光的时候，焦点附近的光场只有角向的成分，没有径向和轴向的成分。正如图1-3所示。这样的光场分布是有利于离子捕捉等方面的用途。

2.3.3 广义轴对称偏振光束

广义轴对称偏振光是电矢量的振动方向在横截面上呈轴对称且同径向保持φ夹角的偏振光，如图1-1 c) 所示。

实际上广义轴对称偏振光可以分解为径向偏振光和角向偏振光的线性叠加，关系如下：

=ecosφer+sinφeϕ (2-63)

- 19 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

将公式(2-59)和(2-62)代入公式(2-63)，则有：

sin(2θ)J1(kρqsinθ)cosφeρα12e=−B∫cosθl0(θ)exp(ikzqcosθ)−2J1(kρqsinθ)sinθsinφdθ (2-64)

eϕ=0e22isinθJ0(kρqsinθ)cosφz2.4 本章小结

本章主要介绍了切趾函数、Richards-Wolf 矢量衍射理论和轴对称矢量光束的聚焦理论。Richards-Wolf 矢量衍射理论是高数值孔径透镜聚焦的理论基础，B. Richards 和E. Wolf 实际上给出的是直角坐标系下的理论衍射模型，而K. S. Youngworth 和 T. G. Brown 实际上是给出了柱坐标系下的表达式。这两种理论形式不同但实质是等价的，都是以Richards-Wolf 矢量衍射理论作为基础。只不过当我们在处理轴对称矢量光聚焦时，用K. S.

Youngworth 和 T. G. Brown给出的结果更方便一些。

- 20 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

第3章 平顶型光场分布的形成

在工程技术和科学研究中平顶型光场分布在很多方面都有非常重要的用途，如半导体激光注入技术、平板印刷技术等等。为了形成这种光场分布需要对入射的轴对称矢量光束进行调制，比如偏振态、位相。在必要的时候还需要用光学元件，特别是衍射光学元件(DOE)，对光束进行调制，以达到整形光场的目的。

所谓DOE是指在基片上刻蚀出一定的浮雕结构(台阶型或连续型)，这些结构使得入射到元件上的光束受到调制，进而实现对光束的控制从而满足各式各样的目的和功能。DOE是根据光的衍射原理，在电脑数字设计技术的帮助下运用大规模集成电路制造工艺，在基片上刻蚀出各种需要的机构，最终形成拥有很高衍射效率的衍射型光学元件。如果说DOE的物理基础是全息技术的话，那么电脑数值设计技术和微电子加工工艺则是其得以实现的现实基础。

本章将主要讨论如何改变入射光束的某些具体性质，甚至运用一些结构比较简单的DOE，在紧聚焦条件下对轴对称矢量光束的调控，并最终在焦点附近形成“平顶”光场分布。

3.1 一维平顶光场的形成

在科学研究和工程应用中为了提高光学储存密度需要产生长焦深、突破衍射极限的衍射焦斑。实际上这就是在焦点附近的光轴方向形成一维平顶光场分布，而径向偏振光在紧聚焦条件下有较大的轴向分量，很适合产生有长焦深的焦斑。

我们采用具有以下振幅函数的径向偏振光束入射[30]。

1arcsin(0.2)≤θ≤arcsin(NA)l0(θ)= (3-1)

0其它NA=0.95，其中NA表示透镜的数值孔径；透镜的焦距f=1cm；同时光束的波长λ=632.8nm，长度归一化到波长。实验装置如图3-1所示。

为了得到长焦深、突破衍射极限的衍射焦斑，我们用DOE对入射的径向偏振光束的位相进行调制，DOE的透射函数T(θ)如公式(3-2)所示：

- 21 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

1当 0≤θ<θ1,θ2≤θ<θ3,θ4≤θ

T(θ)=1当

,θθθθθθ−≤<≤<1234y

x

径向偏振光

DOE

透镜

z

图3-1 实验装置图：径向偏振光、DOE和聚焦透镜

Fig. 3-1 Schematic of the set-up: Radially polarized beams, DOE and Focusing lens

这时只要我们调节DOE的透射函数就可达到调制入射光相位的目的。为了得到长焦深的小焦斑的光场就必须增大径向偏振光的轴向分量，同时抑制径向偏振光的径向分量。我们可以通过调整θ1、θ2、θ3和θ4的大小，也就是DOE各个环的宽度达到这个目的。

作为一个例子我们给出的各个θ的大小分别是：

=θ10.2,=θ20.38,=θ30.6,=θ40.81 (3-3)

经过DOE的调制之后的振幅函数变为l0(θ)T(θ)，用公式(2-59)计算焦点附近光场的分布情况，如图3-2和图3-3所示。

我们把未调制的径向偏振光在焦平面上总光场及其分量的强度分布作为对比。从图3-2中a)和b)两图可以看出经过DOE调制之后径向偏振光在焦平面上的焦斑更小了，未调制时的光斑直径大约为2λ，调制之后的焦斑约为1λ。由于DOE的作用，光束的径向成分得到了有效的抑制，这使得光场的振动方向更加趋向于轴向方向，这对材料加工是非常有利的。

图3-3是光束在r-z平面的光场强度分布。可以看到由于相位受到了调制光束的能量在z轴方向分布的更加均匀，并且能量主要集中在轴向分量。作为对比，可以参考图1-4 ，没有DOE调制的径向偏振光的紧聚焦情况。可以看出无论是径向成分还是能量的均匀度，调制后的光束都得到了有效的控制，如图3-4所示。

- 22 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a)

b)

图3-2 焦平面上径向分量、轴向分量和总光场的强度分布：a) 未调制的径向偏振光；b) 调制后的径向偏振光

Fig. 3-2 Radial component, longitudinal component and the total electric energy density on

the focal plane: a) radially polarized beams; b) modulated radially polarized beams

- 23 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a) b)

c)

图3-3 调制后的径向偏振光在r-z平面的径向分量、轴向分量和总光场的强度分布：a)

轴向分量；b) 径向分量；c)总光场

Fig. 3-3 Radial component, longitudinal component and the total electric energy density of

modulated radially polarized beams on the r-z plane: a) longitudinal component; b) radial

component; c) the total electric energy density

从图3-4中可以看出调制前后的巨大差异。调制前光强只在焦点处达到最大值，而且半高全宽(Full Width at Half Maximum, FWHM)大约为1.4λ，此时的光强主要集中在焦点附近；调制后的光强不仅仅在焦点处达到最大值，而且在1.5λ的距离内基本保持不变，这说明光强比较均匀的分布在这1.5λ的距离内。也就是所形成了我们最开始所期望的平顶型光强分布，同时光束的FWHM大约为4.5λ。因此，可以说通过DOE对入射光束的调制作- 24 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

用我们能够达到改变焦点附近光场强度分布的目的，如改变焦深、减小光斑。同时，也能形成这种一维的平顶型光场分布，为实际应用提供了理论指导。

a) b)

图3-4 z轴上光场强度分布：a) 径向偏振光；b)调制后的径向偏振光

Fig. 3-4 The electric energy density along z: a) radially polarized beams; b) modulated

radially polarized beams

3.2 二维平顶光场的形成

除了用DOE对光束进行调制以达到控制焦点附近光场的目的，我们还可以用改变入射光束的性质，比如振幅函数、偏振状态等等方法实现我们所需要的光场分布。在这一节中我们将采用广义轴对称偏振光作为入射光束，并讨论改变光束本身的某些性质从而实现光场的“平顶”整形。

实验装置图与图3-1类似，只不过将径向偏振光换成广义轴对称偏振光，同时将DOE去掉，直接用高数值孔径透镜紧聚焦。广义轴对称偏振光是电矢量瞬时振动方向在横截面上呈轴对称且同径向保持φ夹角的偏振光，如图2-6所示。

依然采用公式(3-1)所表示的函数作为入射光束的入射函数，其中NA=0.8，NA表示透镜的数值孔径；透镜的焦距f=1cm；同时光束的波长λ=632.8nm，长度归一化到波长。

实际上对广义轴对称偏振光的偏振角进行调控就能达到控制焦点附近光强的目的。因为广义轴对称偏振光是有径向偏振光和角向偏振光叠加而来，- 25 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

不同的角度对应于径向偏振和角向偏振在总光场中占的比重的不一样，而径向偏振光和角向偏振光的聚焦特点各有不同，所以只要改变偏振角就能达到控制光场的目的。

当偏振角φ=240时，广义轴对称偏振光在r-z平面的光强分布如图3-5所示；在焦平面上的光强分布如图3-6所示。

a) b)

c)

图3-5

φ=240的广义轴对称偏振光在r-z平面的径向分量、角向分量和总光场的强度分布：a) 径向分量；b) 角向分量；c)总光场

Fig. 3-5 Radial component, azimuthal component and the total electric energy density of

generalized CV beams with

φ=240on the r-z plane: a) radial component; b) azimuthal

component; c) the total electric energy density

- 26 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a) b)

图3-6焦平面上径向分量、角向分量和总光场的强度分布：a)

偏振光；b)

φ=450的广义轴对称φ=240的广义轴对称偏振光

φ=450; b) generalized CV beams with

Fig. 3-6 Radial component, azimuthal component and the total electric energy density on the

focal plane: a) generalized CV beams with

φ=240

从图3-5可以看出角向成分在焦点附近形成了暗心结构，径向成分的光强主要集中在光轴上，因为我们适当的调整了偏向角的大小，让径向成分的比重增大所以填补了角向成分在焦点处形成的暗心，从而使焦点附近的光强趋于一致。

作为对比，在图3-6中我们也做出了φ=450的广义轴对称偏振光在焦平面上的径向分量、角向分量和总强度的曲线图。光束经过高数值孔径透镜的紧聚焦之后在焦点附近形成了类似于马鞍的光强分布，也就是说光强在焦点附近并不均匀分布。这实际上是由于径向偏振光所占的比重不够，不能填补角向偏振光所形成的暗心结构，所以才出现了图3-6 a)的光强分布。从图3-6 b)可以看出光场在z=0平面的焦点附近的光强出现了均匀分布的情况，这实际上是有调节偏向角之后得到的结果。光场在焦点附近大约0.5λ的范围内保持极大值，呈均匀分布状态，它的FWHM大约为1.3λ。

虽然这种调制的效果不如上一节那样的明显，但是这又给我们提供了一种调控光场的方法，同时还实现了二维的平顶型光场分布。因此，可以说通过调节入射光束的偏振态我们能够达到改变焦点附近光场强度分布的目的，形成平顶型光强分布。

- 27 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

3.3 三维平顶光场的形成

由于矢量光束的空间非均匀偏振态的传播和聚焦一直有很多均匀偏振光束所没有的独特的性质，所以越来越多的人对轴对称矢量光束的聚焦性质感兴趣。

正如前文所述，当我们有高数值孔径的透镜对径向偏振光聚焦时会在焦点附近出现很强的纵向电场分量。理论和实验都表明DOE是可以将入射光的纵向电场分量加强。除此之外，从前面的研究表明改变矢量光束自身的性质也可以达到控制焦点附近光场分布情况的目的。

基于这两种因素的考虑，在这里我们DOE对广义轴对称矢量光束进行调制，这样不仅可以通过改变偏向角还可以通过DOE对入射光束进行调控，以达到改变焦点附近光场的分布情况。实验装置与如图3-1类似，只不过将径向偏振光换成广义轴对称偏振光，同时DOE的结构也有所变化。

入射光束是φ=380广义轴对称偏振光，DOE由同轴的环组成，如图3-6所示，它被放置在高数值孔径透镜的前方用来调制广义轴对称偏振光的相位。相应的透射函数T(θ)如公式(3-4)所示：

1当 0≤θ<θ1,θ2≤θ

T(θ)=−1当

θ1≤θ<θ2其中，NA=0.8，各个θ的大小分别是：

=θ10.32,=θ20.52 (3-5)

利用相似的DOE如果用径向偏振光入射可以让焦深拉长，并且变得更细。其实中间环的贡献对于内环和外环来说是有害的，它可能让焦深变得更长或者形成类似于前文所述的马鞍形光强分布。但是，换一个角度考虑，正因为中间环的加入可以使焦深变得更长，那么也就是说它可以使焦点附近的光强更加的均匀。同时，我们在调制入射光的偏向角，也就是入射光的偏振状态来弥补所谓的马鞍形光强，那就有可能形成平顶型光强分布。

在这里我们采用偏向角φ=380广义轴对称偏振光经过DOE调制后在紧聚焦条件下，在r-z平面的光强分布情况如图3-7所示。

从图3-7中我们可以看出在DOE的调制下，广义轴对称偏振光的径向成分和角向成分都被拉长了，也就是说在z轴方向的一定距离内均匀分布；同时，由于偏向角的作用角向成分的暗心尺寸几乎等于径向成分的光斑尺- 28 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

寸，于是在r方向形成比较均匀的分布。我们在观察总光场的强度分布情况，可以明显的看出无论是在纵向还是横向都形成了平等型的光强分布。

a) b)

c)

图3-7调制后的广义轴对称偏振光在r-z平面的径向分量、角向分量和总光场的强度分布：a) 径向分量；b) 角向分量；c)总光场。

Fig. 3-7 Radial component, azimuthal component and the total electric energy density of

modulated generalized CV beams on the r-z plane: a) radial component; b) azimuthal

component; c) the total electric energy density

z轴上广义轴对称偏振光上的光强分布如图3-8所示。

作为对比，图3-8中也给出了没有经过DOE调制的广义轴对称偏振光在z轴上的光强分布。DOE对光束的调制时很明显的。未调制前光强的极大值就只是集中在焦点附近，调制后光强几乎均匀分布在1.7λ的范围内，- 29 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

而且FWHM也从2.4λ扩展到5λ的范围。

焦平面上广义轴对称偏振光的光强分布如图3-9所示。

作为对比，图3-9中也给出了径向偏振光和角向偏振光在焦平面的光强分布。从图中可以看出偏向角的改变对焦点附近光强的影响。径向偏振光和角向偏振光只能在焦平面上形成小焦斑或者暗心结构，但广义轴对称偏振光能兼有这两种光束的特点，同时能通过调节偏向角以达到调控两种光束比重的目的，从而实现对整个聚焦光场的控制。从图中我们可以看出，在焦平面上最大强度的光场几乎均匀分布在焦点附近0.5λ的范围内，FWHM也达到1.1λ左右。

图3-8 z轴上光场强度分布

Fig. 3-8 The electric energy density along z

图3-9 焦平面上光场强度分布

Fig. 3-9 The electric energy density on the focal plane

综上，通过对广义轴对称偏振光经过DOE的调制，我们成功的得到了三维的平顶型光场分布。

- 30 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

其实，除了DOE能对光束进行调制，不同的切趾函数也会对聚焦后的光场分布产生影响。

当我们考虑高数值孔径透镜遵守亥姆赫兹条件下，焦点附近的光场强度分布情况。如前所述亥姆赫兹条件也别称作正切条件，这种条件代表的物理意义是像是理想的，没有扭曲。在此条件下高数值孔径透镜相应的切趾函数的形式如公式(2-16)和(2-17)所示。相应的透射函数T(θ)如公式(3-4)所示。公式(3-4)中的NA=0.8，广义轴对称偏振光的偏向角为φ=39.50，各个θ的大小分别是：

=θ10.36,=θ20.58 (3-6)

在亥姆赫兹条件下，广义轴对称偏振光经过DOE调制后在紧聚焦条件下，在焦平面的光强分布情况如图3-10所示。

图3-10 亥姆赫兹条件下焦平面上光场强度分布

Fig. 3-10 The electric energy density on the focal plane under the Helmhotlz condition

亥姆赫兹条件下，光束在r-z平面强度分布如图3-11所示。

从图3-11和图3-12中可以看出纵向的FWHM将近5.6λ。和用正弦条件相比要更长一些。这是由于切趾函数选择的不同，广义轴对称偏振光入射是有更高的空间频率进入透镜，所以致使FWHM更长。

对比在正弦条件下和亥姆赫兹条件下广义轴对称光的紧聚焦情况。我们可以看出，在亥姆赫兹条件下更容易形成平顶型的光强分布，同时也有更长的FWHM。这是由于入射光束外层的能量分布比内层的能量分布在焦点附近的作用更大，或者说更高阶的空间频率比低阶的空间频率在紧聚焦条件下能发挥更多的作用。在亥姆赫兹条件下，有更多的高阶空间频率进入透镜，所以有更长的FWHM。

- 31 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a)

b)

c)

图3-11亥姆赫兹条件下广义轴对称偏振光在r-z平面的径向分量、角向分量和总光场的强度分布：a) 径向分量；b) 角向分量；c)总光场。

Fig. 3-11 Radial component, azimuthal component and the total electric energy density of

generalized CV beams under the Helmhotlz condition on the r-z plane: a) Radial component;

b) azimuthal component; c) the total electric energy density

- 32 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

图3-12 亥姆赫兹条件下广义轴对称偏振光在z轴上光场强度分布

Fig. 3-12 The electric energy density of generalized CV beams under the Helmhotlz

condition along z

3.4 本章小结

本章主要研究了DOE和轴对称矢量光束自身性质对紧聚焦条件下焦点附近光场分布调控情况。根据我们的研究，说明可以通过DOE对光束的位相进行调控以达到整形光场的目的；同时，我们也可以通过改变轴对称矢量光束自身的性质，如偏振状态、振幅函数等，达到整形光场的目的。

当DOE仅用于位相调制的时候，我们发现DOE可以将光束的焦深拉长，并且是光强在焦点附近呈现出均匀分布的趋势，也就是在光轴方向形成平顶型光场分布，这对于材料加工方面有比较重要的意义。改变轴对称矢量光束自身的偏振状态可以使得径向和角向成分达到互补的效果，使得径向成分的光斑基本补足角向成分的暗环，从而使得光场在垂直于光轴方向的平面上呈现出平顶型的光场分布。基于这两点原因，我们用DOE对广义轴对称偏振光束进行调制，于是，在焦点附近得到三维的平顶型光场分布。

最后，我们还研究了不同的切趾函数对于光场整形的作用，说明了不同的切趾函数对应于不同的聚焦情况。

- 33 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

第4章 可调控光镊的形成

光镊就是用单光束所产生的光学势阱。它是以光的梯度力和散射力为基础，在微观线度下捕捉、操控微粒及探测其性质的物理工具。光镊是由光压的概念引申而来，它之所以能实现光学操控就是因为有光压力的存在。光压的概念早在1616年开普勒就被提出了，后来，麦克斯韦从他的麦克斯韦方程组出发证明了光压的存在。

基于光与其相互作用物质微粒之间的能量、动量传递的力学效应的光镊可以实现对微粒的操控，因此，它能对作用的微粒实现准确的、非机械操控，还不会产生机械性损伤，并且很少对微粒周围的环境产生影响。由于生物微粒对光来说是透明的，所以光镊特别适合于进行生物微粒的研究。同时，在光镊对微粒操控的同时还可以实时测量微粒之间的作用力，因而光镊还可以用作微粒相互作用过程中的力学传感器。正因为光镊的这些新奇的优点使得他在化学、物理和生物领域得到了越来越广泛的研究和应用。

由于光镊是基于光的梯度力来操控微粒的，而被捕获微粒的折射率同周围环境介质折射率又能影响梯度力的大小。因此，微粒和周围介质折射率的差别极大地影响光镊操控微粒的效果。光镊可根据周围介质同微粒折射率的不同进行分类，分为标准光镊和反向光镊。通过光束中心的光斑来操控折射率高于周围介质的微粒的被称作标准光镊；通过光束中心的暗斑来操控折射率低于周围介质的微粒的被称作反向光镊。

本章将主要研究如何通过DOE调制轴对称矢量光的偏振态，在高数值孔径透镜的紧聚焦条件下产生可调控的反向光镊。

4.1 径向偏振光在光镊方面的应用

正如第三章3.3节所述，如果入射光束在传播面上有内中外三中偏振状态的话，中间层偏振态的贡献对于内层和外层来说是有害的，它可能让焦深变得更长或者形成类似于马鞍形光强分布。在第三章中我们引入广义轴对称偏振光将焦点附近的光场成功整形为“平顶”型的光场分布。在这一节我们将反其道而行之，充分利用中间层偏振态的“破坏”作用，将焦点附近的光场整形成所谓的“光泡”，也就是在焦点处产生暗斑，而暗斑的四周围绕着较大强度的光场分布。

- 34 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

径向偏振光的聚焦情况如图1-4 c) 所示，它其实包括轴向成分和径向成分。考虑到内中外三种偏振态分布的光场中间层的破坏作用，我们用和第三章完全相反的思路，即加大中间层的“破坏”作用，使透镜后焦点处的光强呈现出暗心结构。

实验的装置图与图3-1类似，同样使用径向偏振光入射，径向偏振光的振幅函数l0(θ) 如公式(3-1)所示。但是，透镜前的DOE的透射函数T(θ)如下所示：

1当 0≤θ<θ1,θ2≤θ

T(θ)=−1当

θ1≤θ<θ2其中，NA=0.8，各个θ的大小分别是：

=θ10.2,=θ20.71 (4-2)

经过高数值孔径透镜紧聚焦之后在r-z平面、焦点附近的光场分布如图4-1所示。

从图4-1中我们可以看出的确在焦点附近形成了“光泡”。在焦点附近无论是光轴方向还是垂直于光轴的方向都形成了大约1λ长度的暗斑，暗斑被比较大的光场包裹着。虽然“光泡”周围轴向光场的强度要比垂直于轴向方向的光场强度大，但是光泡的面积比较大，这对微粒的捕捉是有利的。为了详细讨论“光泡”的结构和形成的原因，我们给出焦平面上光场的强度分布，如图4-2所示；光轴上“光泡”的强度分布，如图4-3所示。

从图4-2中我们可以明显的看出焦点处的光强的确为零，而且在焦点的附近有比较大的光强存在。空心区域的FWHM达到了1λ。但是在焦平面上暗斑周围的光强不是很大，这是有待改进的地方。从图4-3中我们可以看出光泡在z轴方向空心区域的FWHM已经达到了2λ，同时在轴向方向上有较大的光强分布。

我们已经成功的通过调控径向偏振光的偏振状态在焦点附近形成了“光泡”，但是光泡周围的光强分布并不均匀。这时由于径向偏振光虽然聚焦之后的光场由轴向分量和径向分量组成，但是径向分量的光强太弱，轴向分量的光强太强，这从图4-1可以明显的看出来。所以，为了增大垂直于轴向分量的光强必须采取第三章3.3节的做法，引入角向成分。因为角向偏振成分在焦点附近的光强分布也是暗斑结构，只不过是二维的，但是如果能很好的调控轴向和非轴向光场的分布，就应可以在焦点附近形成周围有比较均匀分布的暗斑。

- 35 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a)

b)

c)

图4-1“光泡”在r-z平面的径向分量、轴向分量和总光场的强度分布：a) 轴向分量；b) 径向分量；c)总光场

Fig. 4-1 Radial component, longitudinal component and the total electric energy density of

an optical bubble on the r-z plane: a) longitudinal component; b) radial component; c) the

total electric energy density

- 36 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

图4-2“光泡”在焦平面上光场强度分布

Fig. 4-2 The electric energy density of an optical bubble on the focal plane

图4-3 “光泡”在z轴上光场强度分布

Fig. 4-3 The electric energy density of an optical bubble along z

4.2 轴对称矢量光在光镊方面的应用

4.2.1 两种偏振模式的轴对称矢量光

为使暗斑周围的光场分布均匀，我们将角向成分引入。正如图4-4所示，首先构造有两种偏振模式的轴对称矢量光。这样的轴对称矢量光在入射平面电矢量的表达式如下：

+sinφe,cosφ1eρ1ϕ+Ee=E(ρ,ϕ)=Eρeρϕϕcosφ2eρ+sinφ2eϕ- 37 -

0<ρ≤tρ0tρ0<ρ≤ρ0 (4-3)

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

φ2

φ1

图4-4两种偏振模式的轴对称矢量光的瞬时电矢量空间分布图

Fig. 4-4 Schematic of the spatial distribution of instantaneous electric vector for CV beams

of double modes

和e表示平面极坐标系下径向和角向的单位矢量。ρ是入射其中，eϕρ0光瞳的半径，t是内外两种不同模式的半径之比，它的取值范围是0≤t≤1。φ1和φ2分别表示内层两种偏振模式的偏振方向同径向方向的夹角，也就是偏向角。

采用具有以下振幅函数的径向偏振光束入射：

1arcsin(0.05)≤θ≤arcsin(NA)l0(θ)= (4-4)

0其它NA=0.9，NA表示透镜的数值孔径；这样，只要我们适当的选择内外两种轴对称矢量光的偏向角φ1和φ2，以及内外两种模式的半径之比t，就能达到调控焦点附近光场的目的。

选择下面的一系列参数作为例子：

t=0.707,

φ1=0.089π,

φ2=0.711π (4-5)

经过透镜紧聚焦之后，焦点附近的光强分布如图4-5所示。

图4-5中所说的横向和轴向分量，实际上并不是指角向和径向分量。由于上面所构造的这种光束要比前面所说的径向偏振光、角向偏振光和广义轴对称偏振光都要复杂，如果仅仅用径向和角向分量来描述光场的特征则不够全面。因为径向偏振光紧聚焦之后除了有轴向分量之外还包括径向分量，那也就是说也包括横向分量；而角向偏振光聚焦之后仅有角向分量，也就是横向分量。因此，在这里我们用横向和轴向分量来描述。其中横向分量包括角向分量和径向分量。无论是轴向还是横向分量都关于光轴呈现出旋转对称性。轴向分量的光强绝大部分都集中在光轴的方向；横向分量的光强绝大部分都集中在横向方向，并且横向分量已经在焦点附近形成了二维的暗斑。

- 38 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a) b)

图4-5 “光学笼子”在r-z平面的轴向分量和横向分量的强度分布：a) 轴向分量；b)

横向分量

Fig. 4-5 The electric energy density longitudinal component and transversal component of

an optical cage on the r-z plane: a) longitudinal component; b) transversal component

a) b)

图4-6 “光学笼子”在r-z平面总光场的强度分布：a) 二维；b) 三维

Fig. 4-6 The total electric energy density of an optical cage on the r-z plane: a) 2D; b) 3D

“光学笼子”在r-z平面总光场的强度分布如图4-6所示，从中可以清晰的看出焦点附近已经形成了三维的“光泡”，并且暗斑周围的光强均匀分布。

“光学笼子”在焦平面上光场的强度分布如图4-7所示，我们可以清楚地看出焦平面上的光强主要集中在横向分量上，横向分量已经在焦点附近形成暗斑，二维的光泡结构，空心区域的FWHM达到了0.4λ。

- 39 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

图4-7“光学笼子”在焦平面上光场强度分布

Fig. 4-7 The electric energy density of an optical cage on the focal plane

作为对比我们还做出了沿着z轴的光强分布，如图4-8所示。

图4-8 z轴上光场强度分布

Fig. 4-8 The electric energy density along z

空心区域的FWHM达到了1.3λ。

综上，我们的确通过调节偏向角和半径的比例达到了在焦点附近形成了三维的光学笼子的目的，而且暗斑周围的光强分布相当的均匀。

4.2.2 三种偏振模式的轴对称矢量光

如图4-9所示，首先构造有三种偏振模式的轴对称矢量光。这种模式的轴对称矢量光它的内层和外层的都是径向偏振态，而且这两层偏振态的偏振方向刚好相反；中间一层是广义轴对称偏振态，它的偏向角为φ。这样的轴对称矢量光在入射平面电矢量的表达式如公式(4-4)所示。

- 40 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

φ

图4-9 三种偏振模式的轴对称矢量光的瞬时电矢量空间分布图

Fig. 4-9 Schematic of the spatial distribution of instantaneous electric vector for CV beams

of three modes

表示平面极坐标系下径向和角向的单位矢量；ρ是入射光瞳的半和eeϕρ0径；t1是内层圆同入射光瞳的半径之比；t2是中间层圆同入射光瞳的半径之比；φ表示中间层偏振模式的偏振方向同径向方向的夹角，也就是偏向角。

采用具有以下振幅函数的径向偏振光束入射：

eρ+sinφe+Eecosφe,E(ρ,ϕ=)Eρeρϕ=ϕρϕ−eρ0<ρ≤tρ0t1ρ0<ρ≤t2ρ0 (4-6)

t2ρ0<ρ≤ρ01arcsin(0.05)≤θ≤arcsin(NA)l0(θ)= (4-7)

0其它NA=0.9，其中NA表示透镜的数值孔径。

因此，只要我们适当的选择中间层轴对称矢量光的偏向角φ，以及内层和中间层两种模式的半径之比t1和t2，就能达到调控焦点附近光场的目的。事实上由于内层和外层的偏振状态刚好相反，所以由于干涉效应这两中模式在焦点附近的光强相消，这时如果我们能调整好内层和中间层同外层的半径之比就有可能使得焦点附近的光强为零。由于径向偏振光聚焦之后有径向成分和轴向成分，而且轴向成分的光强比径向成分的光强大很多，因此，内外两层的径向偏振光所产生的光场分布主要集中在光轴上，而垂直于轴向方向的横向光场将比较小。中间层是广义轴对称偏振态，它是由径向和角向两个成分组成。其中，广义轴对称偏振光的角向成分紧聚焦之后只有角向成分，也就是只有横向成分，而且将在焦点附近产生一个暗斑，即二维的“光- 41 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

泡”。如果此时内层和外层在焦点附近产生的光场恰好在焦点处光强为零，而中间层又有角向成分，那就有可能在焦点附近产生三维的可调控的光学笼子或者光泡。

正是基于这种考虑，为了寻求最理想的光学笼子或者光泡的出现，将固定中间环的偏向角φ，然后调节内环和中间环的宽度，到焦点附近光强比较均匀分布的最佳比例，然后，在这种比例下调节偏向角φ最后达到最佳效果。φ=π/2，调节参数t1，t2得到一系列结果如图4-10和图4-11所示。

a) b)

c) d)

图4-10 不同参数下r-z平面总光场的强度分布：a) t1=0.3414, t2=0.7632；b) t1=0.2913,

t2=0.7259; c) t1=0.2403, t2= 0.6868; d) t1=0.4393, t2=0.8319

Fig. 4-10 The total electric energy density of different parameters on the r-z plane: a)

t1=0.3414, t2=0.7632；b) t1=0.2913, t2=0.7259; c) t1=0.2403, t2= 0.6868; d) t1=0.4393,

t2=0.8319

- 42 -

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文

a) b)

c) d)

e) f)

图4-11 不同参数下r-z平面总光场的强度分布：a) t1= 0.4866, t2=0.8632; b) t1=0.5327,

t2=0.8923; c) t1=0.3414, t2=0.7632；d) t1=0.2913, t2=0.7259; e) t1=0.2403, t2= 0.6868; f)

t1=0.4393, t2=0.8319

Fig. 4-11 The total electric energy density of different parameters on the r-z plane: a) t1=

0.4866, t2=0.8632; b) t1=0.5327, t2=0.8923; c) t1=

0.5863, t2=

0.9193；d) t1=

0.381, t2=

0.8054; e) t1=

0.3712, t2= 0.8121; f) t1=

0.4103, t2=

0.7985

- 43 -